równanie logistyczne - szybkie rozwiazanie

[angel-of-fate]

Jak szybko rozwiazac:
Populacja rośnie w idealnych warunkach logistycznie. Było 5k a po 10 tyg ilosc wzrosla do 8k. Ustab. sie na 15k. Po ilu tyg było 10k

[Crizz]

Mamy równanie logistyczne postaci:
\(\displaystyle{ \frac{dP}{dt}=kP(a-P)}\)
Rozdzielamy zmienne:
\(\displaystyle{ \frac{dP}{P(a-P)}=kdt}\)
Całkujemy obie strony:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \frac{1}{a}ln\left(\frac{P}{a-P}\right)=kt+C}\)
\(\displaystyle{ \frac{P}{a-P}=e^{a(kt+C)}}\)

Wyznaczamy \(\displaystyle{ P}\) z tego równania:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ P=\frac{ae^{a(kt+C)}}{e^{a(kt+C)}+1}}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{a}{1+e^{-a(kt+C)}}}\)

Skorzystaj teraz z podanych warunków początkowych, tzn. \(\displaystyle{ P(0)=5000,P(10)=8000, \lim_{t \to \infty} P(t)=15000}\). Jak już wyznaczysz wzór funkcji \(\displaystyle{ P}\), to rozwiązujesz równanie \(\displaystyle{ P(t)=10000}\).