kilka równań
: 3 wrz 2010, o 15:59
Witam, bardzo prosiłbym o pomoc przy poniższych równaniach, ew. sprawdzenie moich poczynań
1.
\(\displaystyle{ y^{'}=\frac{y}{t}+\frac{t}{y}\\
\frac{dy}{y}=\frac{dt}{t}+\frac{tdt}{y^{2}} \qquad ...?}\)
2.
\(\displaystyle{ xy^{'}+1=x^{3}-1\\
\frac{dy}{dx}(x+1)=x^{3}-1\\
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{3}-1}{x+1}\\
\int dy=\int\frac{x^{3}-1}{x+1}dx}\)
w rozwiązaniu mam że:
\(\displaystyle{ y=\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+x-2\ln|x+1|+C}\)
stąd wnioskuję że:
\(\displaystyle{ \int\frac{x^{3}-1}{x+1}dx=\int(x^{2}-x+1-\frac{2}{x+1})dx}\)
tylko w jaki sposób to przekształcić do takiej postaci ?
3.
\(\displaystyle{ x^{2}+(\frac{dy}{dx})^{2}=1\\
(\frac{dy}{dx})^{2}=1-x^{2}\\
\frac{dy}{dx}=\sqrt{1-x^{2}}\\
\int dy=\int\sqrt{1-x^{2}}dx}\)
i znowu w rozwiązaniu jest:
\(\displaystyle{ \ln|y|=\frac{1}{2}(x\sqrt{1-x^{2}}+\arcsin)+C}\)
moje pytanie brzmi: w jaki sposób ?
4.
\(\displaystyle{ (1+e^{y})yy^{'}=e^{t}\\
ydy(1+e^{y})=e^{t}dt\\
ydy+ye^{y}dy=e^{t}dt\\ \qquad ...?}\)
z góry dziękuję za pomoc
1.
\(\displaystyle{ y^{'}=\frac{y}{t}+\frac{t}{y}\\
\frac{dy}{y}=\frac{dt}{t}+\frac{tdt}{y^{2}} \qquad ...?}\)
2.
\(\displaystyle{ xy^{'}+1=x^{3}-1\\
\frac{dy}{dx}(x+1)=x^{3}-1\\
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{3}-1}{x+1}\\
\int dy=\int\frac{x^{3}-1}{x+1}dx}\)
w rozwiązaniu mam że:
\(\displaystyle{ y=\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+x-2\ln|x+1|+C}\)
stąd wnioskuję że:
\(\displaystyle{ \int\frac{x^{3}-1}{x+1}dx=\int(x^{2}-x+1-\frac{2}{x+1})dx}\)
tylko w jaki sposób to przekształcić do takiej postaci ?
3.
\(\displaystyle{ x^{2}+(\frac{dy}{dx})^{2}=1\\
(\frac{dy}{dx})^{2}=1-x^{2}\\
\frac{dy}{dx}=\sqrt{1-x^{2}}\\
\int dy=\int\sqrt{1-x^{2}}dx}\)
i znowu w rozwiązaniu jest:
\(\displaystyle{ \ln|y|=\frac{1}{2}(x\sqrt{1-x^{2}}+\arcsin)+C}\)
moje pytanie brzmi: w jaki sposób ?
4.
\(\displaystyle{ (1+e^{y})yy^{'}=e^{t}\\
ydy(1+e^{y})=e^{t}dt\\
ydy+ye^{y}dy=e^{t}dt\\ \qquad ...?}\)
z góry dziękuję za pomoc