rownanie rozniczkowe

[kamylk3]

\(\displaystyle{ xy\prime-xy= e^{x}}\)
i
\(\displaystyle{ y\prime\prime-y=2(1-x)}\)
pomoze ktos?

z 1 mi wyszlo
\(\displaystyle{ y=(\ln (x) +C)e^{x}}\)
z 2
\(\displaystyle{ y=-2x-x^{2}+C}\)

[Nakahed90]

Pierwsze jest dobrze, drugie jest źle.

[kamylk3]

a moglby ktos rozwiazac to 2 krok po kroku? bylbym bardzo wdzieczny
najpierw robie jednorodne
\(\displaystyle{ y\prime\prime-y=0}\)
co mi daje
\(\displaystyle{ y=\frac{1}{6}y^{3}+C_{1}x+C_{2}}\)

a dalej ? czy jakos inaczej

[Nakahed90]

A skąd wytrzasnałeś równanie jednorodne? Ja bym od razu różniczkował obustronnie.

[nemezis100807]

W pierwszym jest błąd. Powinno być: \(\displaystyle{ y=(\ln{|x|} +C)e^{x}}\)

[kamylk3]

A skąd wytrzasnałeś równanie jednorodne? Ja bym od razu różniczkował obustronnie.

yy pomylilem sie w 2 przykladzie zapomnialem jeszcze o y, ma byc tak:
\(\displaystyle{ y\prime\prime-y=2(1-x)}\)
poczytalem troche i chyba tak to trzeba zrobic?
\(\displaystyle{ y\prime\rime-y=0}\)
\(\displaystyle{ r^{2}e^{rx}-e^{rx}=0}\)
\(\displaystyle{ r^{2}-1=0}\)
\(\displaystyle{ r_{1}=-1 , r_{2}=1}\)
\(\displaystyle{ y_{1}=(C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{x})}\)
\(\displaystyle{ y_{1}=C(x)(e^{-x}+e^{x})}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=C\prime(x)(e^{-x}+e^{x})-C(x)(e^{-x}+e^{x})+C(x)(e^{-x}+e^{x})}\)
\(\displaystyle{ C\prime(x)(e^{-x}+e^{x})=2(1-x)}\)
\(\displaystyle{ C\prime(x)=\int\frac{2(1-x)}{e^{-x}+e^{x}}}\)
jesli dobrze zrobilem to teraz nie wiem za bardzo jak sie za ta calke zabrac mogl by ktos pomuc?

[Mariusz M]

a moglby ktos rozwiazac to 2 krok po kroku? bylbym bardzo wdzieczny

Jeżeli chcesz uzmienniać stałe (przewidywanie byłoby wygodniejsze)

\(\displaystyle{ y^{\prime\prime}-y=2 \left(1-x \right)}\)

\(\displaystyle{ r^2-1=0\\
\left(r-1 \right) \left(r+1 \right)=0}\)

Rozwiązanie układu jednorodnego

\(\displaystyle{ C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}}\)

Rozwiązuję układ równań z macierzą Wrońskiego

\(\displaystyle{ W=\begin{vmatrix} e^{x}&e^{-x} \\e^{x}&-e^{-x} \end{vmatrix}=-2\\
W_{c_{1}^{\prime} \left(x \right) }=\begin{vmatrix} 0&e^{-x} \\2-2x&-e^{-x} \end{vmatrix}=- \left(2-2x \right)e^{-x}\\
W_{c_{2}^{\prime} \left(x \right) }=\begin{vmatrix} e^{x}&0 \\e^{x}&2-2x \end{vmatrix}= \left(2-2x \right)e^{x}}\)

\(\displaystyle{ c_{1}^{\prime} \left( x\right)=- \left(x-1 \right)e^{-x}\\
c_{1} \left(x \right)= \left(x-1 \right)e^{-x}-\int{e^{-x} \mbox{d}x }=xe^{-x}}\)

\(\displaystyle{ c_{2}^{\prime} \left( x\right) = \left(x-1 \right)e^{x}\\
c_{2} \left(x \right)= \left(x-1 \right)e^{x}-\int{e^{x} \mbox{d}x } = \left(x-2 \right)e^{x}}\)

\(\displaystyle{ C=xe^{-x}e^{x}+ \left(x-2 \right)e^{x}e^{-x}=2x-2}\)

\(\displaystyle{ y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}+2x-2}\)