jak scałkować dane wyrażenie

[askorek]

Witam!

mam następujące równanie różniczkowe:

\(\displaystyle{ x \cdot \frac{dy}{dx} - y = x \cdot tg( \frac{y}{x} )}\)

i nie wiem jak ugryźć ten tg z obydwoma zmiennymi. Przez niejednorodne się chyba nie da, próbowałem czynnikiem całkującym i nic mi nie wychodzi, innych pomysłów nie mam :/

Czy może mi ktoś pomóc i podpowiedzieć medodę liczenia tego równania?

[Nakahed90]

Podstaw \(\displaystyle{ t=\frac{y}{x}}\)

[nemezis100807]

ale wcześniej podziel całe wyrażenie przez \(\displaystyle{ x, x\neq 0}\). Tak będzie Ci łatwiej. Pozdrawiam

[askorek]

Wielkie dzięki wam obu za pomoc, siedziałbym pół dnia a nie domyśliłbym się że to o podstawienie chodzi:)

może jeszcze ktoś sprawdzi czy dobrze liczę:

\(\displaystyle{ x \cdot \frac{dy}{dx} - y = x \cdot tg( \frac{y}{x} )}\)

\(\displaystyle{ t = \frac{y}{x}}\)

\(\displaystyle{ \Rightarrow y=t \cdot x \Rightarrow \frac{dy}{ \mbox{d}x } = \frac{dt}{ \mbox{d}x } +t}\)

\(\displaystyle{ t' \cdot x+t-t=tg(t)}\)

\(\displaystyle{ \frac{dt}{tg(t)} = \frac{ \mbox{d}x }{x}}\)

\(\displaystyle{ ln \left|sin(t) \right| =ln(x) + C}\)

\(\displaystyle{ sin( \frac{y}{x} )=Cx}\)

\(\displaystyle{ y = x \cdot arcsin(Cx)}\)

[nemezis100807]

widzę tutaj literówkę (3 linijka), zamiast
\(\displaystyle{ \Rightarrow y=t \cdot x \Rightarrow \frac{dy}{ \mbox{d}x } = \frac{dt}{ \mbox{d}x } +t}\) powinno być \(\displaystyle{ \Rightarrow y=t \cdot x \Rightarrow \frac{dy}{ \mbox{d}x } = \frac{dt}{ \mbox{d}x }x +t}\)
reszta poprawnie. Gdyby chcieć się przyczepić, to przechodząc z 3 linijki od końca do przedostatniej, dobrze użyć stałych \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ C_{1}}\) dla podkreślenia, że to inne stałe całkowania.

[askorek]

Dobrze dziękuje.

Mam jeszcze problem z jednym równaniem - nie wiem jak je ugryźć, czy mogę liczyć na podobną pomoc?

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}}\)\(\displaystyle{ -\frac{3y}{x} =-x^3y^2}}\)

[nemezis100807]

Tym razem rozwiązujesz równanie Bernoulliego. Podziel je przez \(\displaystyle{ y^{2}}\), a następnie zastosuj podstawienie \(\displaystyle{ u=\frac{1}{y}}\). Schemat rozwiązania znajdziesz tutaj

[Mariusz M]

Dobrze dziękuje.

Mam jeszcze problem z jednym równaniem - nie wiem jak je ugryźć, czy mogę liczyć na podobną pomoc?

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}}\)\(\displaystyle{ -\frac{3y}{x} =-x^3y^2}}\)

Właśnie przeglądam książkę Gewerta Skoczylasa i jest tam napisane

\(\displaystyle{ y'+p \left(x \right)y=h \left(x \right)y^{r} \\
r \in \mathbb{R} \backslash \{0 \, 1\}}\)

jest równaniem Bernoulliego

Równanie Bernoulliego przez zamianę zmiennych

\(\displaystyle{ z=y^{1-r}}\)

sprowadza się do równania równania różniczkowego niejednorodnego postaci

\(\displaystyle{ z'+ \left(1-r \right)p \left(x \right)z= \left(1-r \right) h \left(x \right)}\)

Mnożysz równanie

\(\displaystyle{ y'+p \left(x \right)y=h \left(x \right)y^{r}}\)

przez

\(\displaystyle{ \left(1-r \right)y^{-r}}\)

i wstawiasz nową zmienną

Otrzymujesz równanie

\(\displaystyle{ z'+ \left(1-r \right)p \left(x \right)z= \left(1-r \right) h \left(x \right)}\)

które obliczasz metodą czynnika całkującego

[askorek]

dziękuje bardzo wszystkim za pomoc!

btw po podstawieniach dostaje

\(\displaystyle{ z' + \frac{3z}{x} =x^3}\) więc to chyba normalnie liczę jednorodnym niejednorodnym a nie czynnikiem całkującym tak?

[Mariusz M]

Jak chcesz to możesz jeszcze uzmiennić stałą ale to nie jest trównanie jednorodne ponieważ \(\displaystyle{ x^3}\)
nie jest tożsamościowo równe zero