Rówanie różniczkowe

[manpaw]

Podczas rozwiązywania równania:
\(\displaystyle{ y`xlnx-2y=lnx}\)

dochodzę do momentu, gdy:

\(\displaystyle{ dyxlnx=2ydx}\)
dzieląc wychodzi mi:

\(\displaystyle{ \frac{xlnx}{dx} = \frac{2y}{dy}}\)

i nie wiem co dalej zrobić :/ na zajęciach prowadzący mówił że dy i dx muszą być po przeciwnych stronach i w licznikach, a u mnie są w mianownikach. Pomoże mi ktoś dokończyć to równanie?

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \frac{xlnx}{dx} = \frac{2y}{dy} \Leftrightarrow \frac{dx}{xlnx } = \frac{dy}{2y }}\)

Nie sprawdzam czy dobrze do tego momentu doszedłeś

[nemezis100807]

Podczas rozwiązywania równania:
\(\displaystyle{ y`xlnx-2y=lnx}\)

dochodzę do momentu, gdy:

\(\displaystyle{ dyxlnx=2ydx}\)

ostatnia linijka, a co za tym idzie całe zadanie jest błędne. Przedstaw swoje rozwiązanie, to znajdziemy problem. Odpowiedź do tego zadania to

\(\displaystyle{ y=c\ln^{2}{x}-\ln{x},\ c\in\mathbb{R}}\)

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ y`xlnx-2y=lnx}\)

Podzielmy równanie przez \(\displaystyle{ x\ln{x}}\)

\(\displaystyle{ y`- \frac{2}{x\ln{x}}y= \frac{1}{x}}\)

I teraz Gewert Skoczylas nazywają tę metodę metodą czynnika całkującego

Mnożymy równanie przez \(\displaystyle{ e^{ -\int{ \frac{2}{x\ln{x}} \mbox{d}x }}}\)

\(\displaystyle{ y` \left(x \right)e^{ \int{ \frac{-2}{x\ln{x}} \mbox{d}x } }+ \left( - \frac{2}{x\ln{x}} \right)y \left( x\right) e^{ -\int{ \frac{2}{x\ln{x}} \mbox{d}x } }- \frac{1}{x}e^{ -\int{ \frac{2}{x\ln{x}} \mbox{d}x }}=0}\)

\(\displaystyle{ \left(y \left(x \right) e^{ -\int{ \frac{2}{x\ln{x}} \mbox{d}x }} \right) `=\frac{1}{x}e^{ -\int{ \frac{2}{x\ln{x}} \mbox{d}x }}\\
y \left(x \right) e^{ -\int{ \frac{2}{x\ln{x}} \mbox{d}x }}=\int{\frac{1}{x}e^{ -\int{ \frac{2}{x\ln{x}} \mbox{d}x }} \mbox{d}x }\\
\frac{y \left( x\right) }{\ln^{2}{x}}=\int{ \frac{1}{x} \cdot \ln^{-2}{x} \mbox{d}x } \\
\frac{y \left( x\right) }{\ln^{2}{x}}=-\ln^{-1}{x}+C\\
y \left(x \right)=-\ln{x}+C\ln^{2}{x}}\)

nemezis100807, teraz możesz sprawdzić czy nie ma błędu

[nemezis100807]

jest dobrze