Równanie rózniczkowe liniowe niejednorodne

[nemezis100807]

Jak rozwiązać poniższe równanie różniczkowe?

\(\displaystyle{ (1-x) y^{\prime\prime} + xy^{\prime} - y = (1-x)^2}\)

[lukasz1804]

Rozważania podzielmy na kroki.

1) Najpierw trzeba znaleźć (tu: raczej odgadnąć) jedno niezerowe rozwiązanie \(\displaystyle{ \varphi_1}\) równania jednorodnego \(\displaystyle{ (1-x)y''+xy'-y=0}\). Łatwo zauważamy, że można przyjąć \(\displaystyle{ \varphi_1(x)=e^x}\).

2) Sprowadźmy równanie jednorodne do postaci normalnej: \(\displaystyle{ y''=\frac{x}{x-1}y'-\frac{1}{x-1}y}\). Wyznaczymy rozwiązanie \(\displaystyle{ \varphi_2}\) tego równania liniowo niezależne z \(\displaystyle{ \varphi_1}\). W tym celu pomocnicze równanie liniowe (pierwszego rzędu) postaci

\(\displaystyle{ z'=\frac{x}{x-1}-2\frac{\varphi_1'(x)}{\varphi_1(x)}z=-2z+\frac{x}{x-1}}\).

Niech \(\displaystyle{ \psi}\) będzie rozwiązaniem tego równania (metoda rozwiązywania równań liniowych pierwszego rzędu - patrz np. 100572.htm ). Wówczas \(\displaystyle{ \varphi_2(x)=\varphi_1(x)\int\psi(x)dx}\) (gdzie przez całkę rozumiemy dowolną z funkcji pierwotnych funkcji \(\displaystyle{ \psi}\)).

3) Teraz wystarczy znaleźć jedno szczególne rozwiązanie \(\displaystyle{ \varphi_0}\) równania wyjściowego (niejednorodnego). Funkcję tę można wyznaczyć np. metodą wariacji stałych, tj. przyjąć, że \(\displaystyle{ \varphi_0(x)=a(x)\varphi_1(x)+b(x)\varphi_2(x)}\) i różniczkując dwukrotnie stronami oraz biorąc pod uwagę, że \(\displaystyle{ \varphi_0}\) ma spełniać dane równanie, wyznaczyć niewiadome funkcje \(\displaystyle{ a, b}\).

4) Ogół rozwiązań równania stanowią funkcje postaci \(\displaystyle{ \varphi_0(x)+C_1\varphi_1(x)+C_2\varphi_2(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ C_1, C_2}\) są dowolnymi stałymi.

[nemezis100807]

Dzięki lukasz1804 za pomoc, tego było mi trzeba. Obawiam się jednak, że odgadnięcie rozwiązania \(\displaystyle{ \varphi_{1}}\) nie zawsze będzie takie łatwe. Czy jest jakaś uniwersalna metoda szukania \(\displaystyle{ \varphi_{1}}\)??

[lukasz1804]

Ja niestety takiej ogólnej metody poszukiwania funkcji \(\displaystyle{ \varphi_1}\) nie znam, ale w przypadku, gdy wyrażenia zawierające \(\displaystyle{ x}\) występujące w równaniu mają charakter wielomianowy (tak jak tu), można się spodziewać, że funkcja \(\displaystyle{ ce^{tx}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ c,t}\) będzie rozwiązaniem równania jednorodnego... ale to tylko moje przemyślenia

[nemezis100807]

I tak wielkie podziękowania

[Mariusz M]

nemezis100807, to jest równanie z Gewerta Skoczylasa (2.6.4 a) i tam masz podane funkcje które tworzą układ fundamentalny poza tym luka52 użył te równanie jako przykład do metody wariacji stałych

[nemezis100807]

mariuszm, dzięki. Wiedziałem, że czegoś brakuje w tym zadaniu. Podasz mi postać tych funkcji?

[Mariusz M]

Układ fundamentalny tworzą funkcje

\(\displaystyle{ y=x}\)

oraz

\(\displaystyle{ y=e^{x}}\)

Wystarczyło znać jedną