Strona 1 z 1

Rozwiązać równanie różniczkowe

: 24 cze 2010, o 23:17
autor: leehooker
Witam

Muszę rozwiążać rownanie różniczkowe. Przyznaję, że nie radzę sobie. Próbuje "skumać to" jakoś przerabiając książkę Włodarskiego.

Mógłby ktoś rozwiązać je KROK PO KROKU z możliwymi komentarzami?
Z góry dziękuję.

\(\displaystyle{ y'=\frac{y - x}{x}}\)

Rozwiązać równanie różniczkowe

: 24 cze 2010, o 23:48
autor: cosinus90
Po prawej rozbijasz ułamek na dwa inne, wykonaj podstawienie \(\displaystyle{ \frac{y}{x} = u}\) , zróżniczkuj stronami żeby otrzymać y' (pamiętając, że postaci funkcji u(x) nie znamy) - dalej powinieneś sobie poradzić :)

Rozwiązać równanie różniczkowe

: 25 cze 2010, o 00:00
autor: nemezis100807
Masz tu równanie różniczkowe jednorodne, gdyż
\(\displaystyle{ y^{\prime}=\frac{y-x}{x}=\frac{y}{x}-\frac{x}{x}=\frac{y}{x}-1}\).

Rozwiązać równanie różniczkowe

: 25 cze 2010, o 14:37
autor: leehooker
Hm. Raczej nie. Nie umiem "skapować" tej metody.
Jeśli ma ktoś czas - proszę o rozpisanie.

Z góry dziękuję

Rozwiązać równanie różniczkowe

: 25 cze 2010, o 16:40
autor: lukasz1804
Równanie można przedstawić równoważnie w postaci \(\displaystyle{ y'=\frac{1}{x}y-1}\). Jest to równanie liniowe niejednorodne. Rozważmy metodę rozwiązania opisaną w 100572.htm .
Mamy \(\displaystyle{ a(x)=\frac{1}{x}, b(x)=-1}\). Stąd \(\displaystyle{ A(x)=\int a(x)dx=\ln|x|, B(x)=\int b(x)e^{-A(x)}dx=\int -\frac{dx}{|x|}=\begin{cases} \ln(-x)\ \text{dla}\ x<0 \\ -\ln x\ \text{dla}\ x>0 \end{cases}}\).
Ogół rozwiązań równania stanowią funkcje \(\displaystyle{ \varphi_C(x)=(B(x)+C)e^{A(x)}=\begin{cases} -x(\ln(-x)+C)\ \text{dla}\ x<0 \\ x(-\ln x+C)\ \text{dla}\ x>0 \end{cases}}\), gdzie \(\displaystyle{ C}\) jest pewną stałą.

Rozwiązać równanie różniczkowe

: 6 mar 2012, o 19:27
autor: choko
Mam pytanie a czy sposób cosinus90'a jest zły?

Rozwiązać równanie różniczkowe

: 6 mar 2012, o 19:59
autor: lukasz1804
Też jest poprawny.

Rozwiązać równanie różniczkowe

: 9 mar 2012, o 08:53
autor: Mariusz M
lukasz1804, tylko po co przedstawiac w takiej postaci ?
Nie lepiej w postaci \(\displaystyle{ y^{\prime}- \frac{1}{x}y=-1}\)

Wtedy widać że lewa (a właściwie prawa) strona równania przypomina pochodną iloczynu
Skoro lewa strona przypomina pochodną iloczynu to można albo pomnożyć równanie przez taką funkcję
aby rzeczywiście była ona pochodną iloczynu albo przedstawić szukaną funkcję za pomocą iloczynu dwóch innych funkcji
W obydwu przypadkach trzeba pomocniczo rozdzielić zmienne