Rozwiązać równanie różniczkowe

[leehooker]

Witam

Muszę rozwiążać rownanie różniczkowe. Przyznaję, że nie radzę sobie. Próbuje "skumać to" jakoś przerabiając książkę Włodarskiego.

Mógłby ktoś rozwiązać je KROK PO KROKU z możliwymi komentarzami?
Z góry dziękuję.

\(\displaystyle{ y'=\frac{y - x}{x}}\)

[cosinus90]

Po prawej rozbijasz ułamek na dwa inne, wykonaj podstawienie \(\displaystyle{ \frac{y}{x} = u}\) , zróżniczkuj stronami żeby otrzymać y' (pamiętając, że postaci funkcji u(x) nie znamy) - dalej powinieneś sobie poradzić

[nemezis100807]

Masz tu równanie różniczkowe jednorodne, gdyż
\(\displaystyle{ y^{\prime}=\frac{y-x}{x}=\frac{y}{x}-\frac{x}{x}=\frac{y}{x}-1}\).

[leehooker]

Hm. Raczej nie. Nie umiem "skapować" tej metody.
Jeśli ma ktoś czas - proszę o rozpisanie.

Z góry dziękuję

[lukasz1804]

Równanie można przedstawić równoważnie w postaci \(\displaystyle{ y'=\frac{1}{x}y-1}\). Jest to równanie liniowe niejednorodne. Rozważmy metodę rozwiązania opisaną w 100572.htm .
Mamy \(\displaystyle{ a(x)=\frac{1}{x}, b(x)=-1}\). Stąd \(\displaystyle{ A(x)=\int a(x)dx=\ln|x|, B(x)=\int b(x)e^{-A(x)}dx=\int -\frac{dx}{|x|}=\begin{cases} \ln(-x)\ \text{dla}\ x<0 \\ -\ln x\ \text{dla}\ x>0 \end{cases}}\).
Ogół rozwiązań równania stanowią funkcje \(\displaystyle{ \varphi_C(x)=(B(x)+C)e^{A(x)}=\begin{cases} -x(\ln(-x)+C)\ \text{dla}\ x<0 \\ x(-\ln x+C)\ \text{dla}\ x>0 \end{cases}}\), gdzie \(\displaystyle{ C}\) jest pewną stałą.

[choko]

Mam pytanie a czy sposób cosinus90'a jest zły?

[lukasz1804]

Też jest poprawny.

[Mariusz M]

lukasz1804, tylko po co przedstawiac w takiej postaci ?
Nie lepiej w postaci \(\displaystyle{ y^{\prime}- \frac{1}{x}y=-1}\)

Wtedy widać że lewa (a właściwie prawa) strona równania przypomina pochodną iloczynu
Skoro lewa strona przypomina pochodną iloczynu to można albo pomnożyć równanie przez taką funkcję
aby rzeczywiście była ona pochodną iloczynu albo przedstawić szukaną funkcję za pomocą iloczynu dwóch innych funkcji
W obydwu przypadkach trzeba pomocniczo rozdzielić zmienne