Matematyka.pl

Cześć,
napotkałem na swojej drodze takie równanie wymagające rozwiązania:
\(\displaystyle{ y''-6y'+9y= \frac {e^{3x}}{x}}\)

Z zapisów na forum podejrzewam, że trzeba to zrobić z metody przewidywań.
Napiszę teraz co wymyśliłem i najwyżej zjedziecie mnie za to równo ;]

\(\displaystyle{ y''-6y'+9y = 0}\) [czyli jednorodne robię]
teraz użyję magicznej transformacji \(\displaystyle{ y^{(n)}=r^n}\) zamieniającej stopień na potęgę [skąd to się bierze? A może bzdura jakaś].
\(\displaystyle{ r^2 - 6r^1 + 9r^0 = 0}\)
\(\displaystyle{ (r-3)^2 = 0}\)
r=3 [podwójny pierwiastek]
dla pierwiastków podwójnych znalazłem wzór taki:
\(\displaystyle{ y_n=x^{n-1} e^{r_n x}}\) czyli:
\(\displaystyle{ y_1=x^{1-1} e^{3x}= e^{3x} C_1}\)
\(\displaystyle{ y_2= ... = xe^{3x} C_2}\)

\(\displaystyle{ y(x) = e^{3x} C_1 + xe^{3x} C_2}\)
to podobno jest rozwiązanie ogólne więc teraz od ogółu do szczegółu

po drodze trzeba się zająć prawą stroną równania
z notatek wygrzebałem wzór: \(\displaystyle{ f(x)=e^{ \alpha x} Pn(x)}\) jako postać prawej strony r-nia
\(\displaystyle{ f(x) = \frac {e^{3x}}{x} =e^{ \alpha x} Pn(x)}\)
z czego wynika, że \(\displaystyle{ Pn(x)=\frac 1 x}\) [wielomian 1go stopnia] , a \(\displaystyle{ \alpha = 3}\)
teraz zagwozdka. 3 jest również peirwiastkiem tamtego równania z 'r' i to ma w jakiś sposób wpłynąć na sposób zapisu. 'x' gdzieś dodanym być powinien. Ale gdzie i w jakiej ilości skoro to pierwiastek podwójny?
Ja wymyśliłem tak:
\(\displaystyle{ y_{s}(x) = x^2 e^{3x}(Ax+B)}\)

na tym kończy się moja pomysłowość. Tzn niby dalej mogę działać ale w tym miejscu mam zbyt wiele wątpliwości co do poprawności tego rozwiązania więc proszę o weryfikację, poprawki i ew. właściwie rozwiązane zadanie

Po pierwsze primo - jak to mówią niektórzy - tego równania nie da się rozwiązać za pomocą metody przewidywania.

Po drugie primo - to nie jest żadna magiczna transformacja.. po prostu zakłada się, że rozwiązanie równania jednorodnego jest postaci \(\displaystyle{ y=e^{rx}}\), co po wstawieniu do równania różniczkowego daje Ci rzeczony wielomian. Ponieważ ten wielomian można od razu napisać, to zwykle właśnie tak się robi, pomijając ten etap podstawiania. Rozwiązanie równania jednorodnego masz dobrze.

Po trzecie primo, na resztę spuszczę zasłonę milczenia (zwłaszcza na stwierdzenie, że \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) jest wielomianem pierwszego stopnia...).

Odszukaj teraz w kajeciku metodę uzmienniania stałych - albo zajrzyj np tutaj

W razie dalszych problemów pisz.

Pozdrawiam.

1. dlaczego nie da się metodą przewidywania? Z czego to wynika i jak rozpoznać potrzebną metodę ?
2. to co to jest ten 1/x ?
3. ten twór o podstawianiu Pn itd to bajka jakaś? Różne rzeczy się znajduje w notatkach ...

a teraz co wytworzyłem przy użyciu zmieniania niezmiennych
[kontynuacja od wyliczenia rj
\(\displaystyle{ y(x) = e^{3x} C_1 + xe^{3x} C_2}\)
od razu do wrońskiego:
\(\displaystyle{ W = \begin{vmatrix} {e^{3x}}&{xe^{3x}}\\{3e^{3x}}&{e^{3x} + 3xe^{3x}}\end{vmatrix} = e^{6x}}\)
\(\displaystyle{ W_{C'1} = \begin{vmatrix} {0}&{xe^{3x}}\\{ \frac{e^{3x}}{x}}&{e^{3x} + 3xe^{3x}}\end{vmatrix} = -e^{6x}}\)
\(\displaystyle{ W_{C'2} = \begin{vmatrix} {e^{3x}}&{0}\\{3e^{3x}}&{ \frac{e^{3x}}{x}}\end{vmatrix} = { \frac{e^{6x}}{x}}}\)

\(\displaystyle{ C'1= \frac {W_{C'1}} {W} = -1}\)
\(\displaystyle{ C'2= \frac {W_{C'2}} {W} = \frac 1 x}\)

\(\displaystyle{ \int C'1 = -x + \overline{C1}}\)
\(\displaystyle{ \int C'2 = lnx + \overline{C2}}\)
[te stałe C są tu potrzebne? Po to je wyliczałem by mi powróciły niczym zły sen :/?]

podstawiam do wcześniejszego wyliczenia i otrzymuję ...
\(\displaystyle{ y(x)=e^{3x}(-x + \overline{C1}) + xe^{3x}(lnx + \overline{C2})}\)
... koniec li to O_o? Czy dopiero koniec początku?

Ad 1) jest określona postać funkcji, dla której można stosować metodę przewidywania. Metoda uzmienniania stałych jest uniwersalna.

Ad 2) nic, co by Cie interesowało, ale na pewno nie wielomian...

Ad 3) poniekąd to prawda, ale tylko pod wrunkiem, że \(\displaystyle{ P_n}\) jest wielomianem - a jak ustaliliśmy, \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) nie jest wielomianem


Co do rozwiązania - stałe są oczywiście potrzebne, ponieważ obliczasz całki - ale to de facto inne stałe niż te, od których zacząłeś.

Po podstawieniu to już koniec zabawy - chyba, że masz jakieś dodatkowe warunki, tzw. warunki początkowe (ale Ty nie masz). Zatem - gratulacje!

Pozdrawiam.

dziękuję ^^