Matematyka.pl

\(\displaystyle{ x'=x-xy}\)
\(\displaystyle{ y'=y-xy}\)
\(\displaystyle{ x(0)>0}\), \(\displaystyle{ y(0)>0}\),
przy czym \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są funkcjami zmiennej \(\displaystyle{ t}\), a więc \(\displaystyle{ x'=\frac{dx}{dt}}\), \(\displaystyle{ y'=\frac{dy}{dt}}\)

Czy da się uzasadnić, że \(\displaystyle{ x(t)>0}\), \(\displaystyle{ y(t)>0}\) dla \(\displaystyle{ t>0}\)?

Pozdrawiam

x'=x-xy
y'=y-xy
Odejmijmy stronami równania:
x'-y'=x-y
Czyli
\(\displaystyle{ e^{t}+C=x-y}\)
Czyli
x=s(t)
y=\(\displaystyle{ s(t)+e^{t}+C}\)
s(0)+1+C>0,bo rozwiązania muszą być dodatnie w zerze
Wstawmy postaci równania do zadania:
\(\displaystyle{ s'(t)=s(t)-s^{2}(t)+s(t)(e^{t}+c)}\)
\(\displaystyle{ s'(t)=s(t)-C-s^{2}(t)+s(t)(e^{t}+C)}\)
Bo mogłem odjąć obustronnie exp(t). odejmujemy obustronnie równania i mamy
C=0.Czyli jeśli s(t)>0 to tezę mamy spełnioną,ale gwarancji nie mamy.

Gdzie tu dowód? Przecież \(\displaystyle{ s(t)=x}\), a więc nie udowodniłeś dodatniości rozwiązania.

Nie mówię,że udowodniłem. Pytanie brzmi : "udowodnij",czy " sprawdź czy da się udowodnić?"

Pytanie brzmi: "Udowodnij, jeśli jest to prawdą".