Pomoc z rozwiązanie równania różniczkowego Bernoulliego

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
EawniHD
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 1 wrz 2021, o 16:22
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21

Pomoc z rozwiązanie równania różniczkowego Bernoulliego

Post autor: EawniHD »

Witam, nie mam pomysłu jak rozpocząć to równanie, po podstawieniu i rozdzieleniu zmiennych, uzmiennienia stałej i policzenia pochodnej wychodzą mi sprzeczne rzeczy. Jak się za to zabrać?

Równanie:
\(\displaystyle{ y' + 2y\tg x =4 y^{2}\tg x }\)
Ostatnio zmieniony 13 wrz 2021, o 17:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=178502 . Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Pomoc z rozwiązanie równania różniczkowego Bernoulliego

Post autor: kerajs »

\(\displaystyle{ y' + 2y\tg x =4 y^{2}\tg x\\
\frac{y'}{y^2}+2\tg x \frac{1}{y}=4\tg x \ \ \wedge \ \ y \neq 0 \\
t= \frac{1}{y} \ \ \Rightarrow \ \ t'= \frac{-1}{y^2} \cdot y' \\
-t'+2t \ \tg x =4\tg x

}\)

a to jest równaniem linowym którego rozwiązanie, moim zdaniem, to: \(\displaystyle{ t= \frac{K-2}{\cos^2x}+4 }\)
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Re: Pomoc z rozwiązanie równania różniczkowego Bernoulliego

Post autor: Mariusz M »

EawniHD pisze: 13 wrz 2021, o 17:27 Witam, nie mam pomysłu jak rozpocząć to równanie, po podstawieniu i rozdzieleniu zmiennych, uzmiennienia stałej i policzenia pochodnej wychodzą mi sprzeczne rzeczy. Jak się za to zabrać?
Taki właśnie sposób rozwiązywania opisują w podręcznikach
choć podstawienie sprowadzające to równanie do liniowego jest opcjonalne

\(\displaystyle{ y' + 2y\tg x =4 y^{2}\tg x \\
y' + 2y\tg x=0\\
y'=- 2y\tg x\\
\frac{y'}{y}=-2\frac{\sin{x}}{\cos{x}} \\
\frac{ \dd y}{ y }=2\frac{-\sin{x}}{\cos{x}} \dd x \\
\ln{\left| y\right| } = 2\ln{\left| \cos{x}\right| }\\
y=C\cos^{2}{\left( x\right) }\\
y\left( x\right) = C\left( x\right) \cos^{2}{\left( x\right) }\\
C'\left( x\right) \cos^{2}{\left( x\right) }+C\left( x\right) \cdot 2\cos{\left( x\right) }\left( -\sin{\left( x\right) }\right) +2C\left( x\right) \cos^{2}{\left( x\right) }\tg{\left( x\right) }=4C^2\left( x\right) \cos^{4}{\left( x\right) }\tg{\left( x\right) }\\
C'\left( x\right) \cos^{2}{\left( x\right) }-2C\left( x\right) \cos{\left( x\right) }\sin{\left( x\right) }+2C\left( x\right)\cos{\left( x\right) }\sin{\left( x\right) }=4C^2\left( x\right) \cos^{3}{\left( x\right) }\sin{\left( x\right) }\\
C'\left( x\right) \cos^{2}{\left( x\right) }=4C^2\left( x\right) \cos^{3}{\left( x\right) }\sin{\left( x\right) }\\
\frac{C'\left( x\right)}{C^2\left( x\right)}=4\cos{\left( x\right) }\sin{\left( x\right) }\\
-\frac{C'\left( x\right)}{C^2\left( x\right)}=4\cos{\left( x\right) }\left(-\sin{\left( x\right) } \right) \\
\frac{1}{C\left( x\right) }=2\cos^{2}{\left( x\right) }+C_{1}\\
C\left( x\right) =\frac{1}{2\cos^{2}{\left( x\right) }+C_{1}}\\
y=\frac{\cos^{2}{\left( x\right) }}{2\cos^{2}{\left( x\right) }+C_{1}}\\
}\)
ODPOWIEDZ