Ciąg kolejnych przybliżeń

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
pasjonat_matematyki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 76
Rejestracja: 3 wrz 2019, o 12:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy

Ciąg kolejnych przybliżeń

Post autor: pasjonat_matematyki »

Dzień dobry

Mamy dane równanie różniczkowe \(\displaystyle{ y' = f(x,y)}\) z warunkiem początkowym \(\displaystyle{ y(x _{0} ) = y _{0}}\).
Jak wiadomo kolejne przybliżenia tego równania można wyliczać ze wzoru poniżej:
\(\displaystyle{ \alpha _{n+1} (x) = y _{0} + \int_{x _{0} }^{x}f(s, \alpha _{n}(s) )ds}\)

Jako pierwsze przybliżenie można wziąć: \(\displaystyle{ \alpha _{0}(x) = y _{0} }\) i liczyć następne. Nie bardzo rozumiem skąd wiadomo, że to, co się wylicza z tego wzoru jest coraz bliższe krzywej całkowej będącej rozwiązaniem równania różniczkowego. Oczywiście przy odpowiednich założeniach: \(\displaystyle{ f(x,y)}\) jest ciągła w pewnym prostokącie \(\displaystyle{ G}\) i spełnia w nim warunek Lipschitza ze względu na \(\displaystyle{ y}\). Za wszelką pomoc będę bardzo wdzięczny.
szw1710

Re: Ciąg kolejnych przybliżeń

Post autor: szw1710 »

Chodzi o to, że odpowiedni operator całkowy jest zwężający (nie daje tego bezpośrednio warunek Lipschitza, ale - powiedzmy - przyczynia się do tego) i można stosować twierdzenie Banacha o punkcie stałym. Tenże punkt stały jest rozwiązaniem równania.

Operatorem tym jest \(u\mapsto\Phi(u)\), gdzie \(u=u(x)\) jest odpowiednią funkcją, zaś\[\Phi(u)(x)=y_0+\int_{x_0}^xf\bigl(s,u(s)\bigr)\,\text{d}s.\] Czyli operator \(\Phi\) przypisuje funkcji \(u\) funkcję \(\Phi(u)\) daną powyższym wzorem, więc \(\Phi\) jest odwzorowaniem odpowiedniej przestrzeni funkcyjnej w siebie.

Te kolejne aproksymacje są brane dokładnie tak samo, jak robi się to w dowodzie twierdzenia Banacha. Stąd ich ciąg jest zbieżny do punktu stałego, czyli aproksymuje rozwiązanie równania rózniczkowego.
Awatar użytkownika
Elvis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 765
Rejestracja: 17 paź 2004, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 89 razy

Re: Ciąg kolejnych przybliżeń

Post autor: Elvis »

Dodam od siebie kilka słów, żeby konkretnie pokazać, dlaczego kolejne przybliżenia są coraz bliższe.

Żeby było konkretnie, powiedzmy, że \(\displaystyle{ f(s,\cdot)}\) spełnia warunek Lipschitza ze stałą \(\displaystyle{ L}\), czyli \(\displaystyle{ |f(s,y_1) - f(s,y_2)| \le L |y_1-y_2|}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ s,y_1,y_2}\). Dla uproszczenia zapisu przyjmijmy \(\displaystyle{ x_0 = 0}\) i przyjmijmy horyzont czasowy \(\displaystyle{ T = \frac{1}{2L}}\) (można go potem wydłużyć, ale na razie niech tak będzie). Przyjmując \(\displaystyle{ \Phi}\) jak w poście szw1710, nasz ciąg jest wtedy zadany rekurencją \(\displaystyle{ \alpha_{n+1} = \Phi(\alpha_n)}\).

Dlaczego \(\displaystyle{ \Phi}\) jest zwężające? Otóż jeśli przyjmiemy normę supremum \(\displaystyle{ \| u \| := \sup_{t \in [0,T]} |u(t)|}\), to możemy oszacować
\[
|\Phi(u)(t)-\Phi(v)(t)|= \left| \int_0^t (f(s,u(s))-f(s,v(s))) ds \right|
\le \int_0^t L \cdot |u(s)-v(s)| ds \le L \cdot t \cdot \| u-v \|
\]
dla każdego \(\displaystyle{ t \in [0,T]}\). Biorąc supremum po wszystkich takich \(\displaystyle{ t}\), otrzymujemy \(\displaystyle{ \| \Phi(u)-\Phi(v) \| \le L T \| u-v \| = \frac{1}{2} \| u-v \|}\). To właśnie oznacza, że \(\displaystyle{ \Phi}\) jest operatorem zwężającym. Twierdzenie Banacha o punkcie stałym mówi, że w takim razie ciąg rekurencyjny \(\displaystyle{ \alpha_{n+1} = \Phi(\alpha_n)}\) szybko zbiega do punktu stałego, a tym punktem stałym jest przecież szukane rozwiązanie równania różniczkowego.

Najwięcej zapewne się dowiesz, zaglądając do dowodu twierdzenia Banacha. Tymczasem możesz na szybko zauważyć, że jeśli wiadomo już, że istnieje pewne rozwiązanie \(u\) (lub równoważnie, \(u\) spełniające \(\Phi(u)=u\)), to
\[
\| \alpha_{n+1} - u \| = \| \Phi(\alpha_n) - \Phi(u) \| \le \frac{1}{2} \| \alpha_n - u \|,
\]
a więc \(\displaystyle{ \alpha_n}\) rzeczywiście szybko zbiegają do \(\displaystyle{ u}\).
szw1710

Re: Ciąg kolejnych przybliżeń

Post autor: szw1710 »

Mało tego, wspomniany punkt stały jest jedyny, co jest częścią twierdzenia Picarda, którego dowód właśnie podaliśmy.
pasjonat_matematyki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 76
Rejestracja: 3 wrz 2019, o 12:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy

Re: Ciąg kolejnych przybliżeń

Post autor: pasjonat_matematyki »

Jeśli chodzi o tą ostatnią całkę, to pewnie można by to jeszcze rozpisać tak, że pod całką pojawia się supremum, prawda? Czyli jeszcze jedno oszacowanie z góry. Rozumiem, że to supremum wychodzi następnie przed całkę w postaci normy różnicy jako stała?
Awatar użytkownika
Elvis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 765
Rejestracja: 17 paź 2004, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 89 razy

Re: Ciąg kolejnych przybliżeń

Post autor: Elvis »

Dokładnie tak - można dopisać pośrednią formę \(\displaystyle{ \int_0^t L \| u-v \| ds}\).
ODPOWIEDZ