Zagadnienie Cauchy’ego

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
xpmx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 25 mar 2020, o 18:48
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 4 razy

Zagadnienie Cauchy’ego

Post autor: xpmx » 25 mar 2020, o 19:04

Mam problem z rozwiązaniem zagadnienia Cauchy'ego:
\(\displaystyle{ y' = \frac{y}{x}+\frac{x}{y}\\
y(1) = \sqrt{2}}\)


mógłby ktoś pokazać jak się za to zabrać?
Ostatnio zmieniony 25 mar 2020, o 21:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2652
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 839 razy

Re: Zagadnienie Cauchy’ego

Post autor: Janusz Tracz » 25 mar 2020, o 19:14

Wykonując standardowe podstawienie \(\displaystyle{ z= \frac{y}{x} }\) mamy \(\displaystyle{ y'=z'x+z}\) więc

\(\displaystyle{ z'x+z=z+ \frac{1}{z} }\)

\(\displaystyle{ z'x= \frac{1}{z} }\)

\(\displaystyle{ zz'= \frac{1}{x} }\)

a to są już zmienne rozdzielone, więc wystarczy scałkować i wstawić warunek początkowy.

xpmx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 25 mar 2020, o 18:48
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 4 razy

Re: Zagadnienie Cauchy’ego

Post autor: xpmx » 26 mar 2020, o 09:45

Janusz Tracz pisze:
25 mar 2020, o 19:14
Wykonując standardowe podstawienie \(\displaystyle{ z= \frac{y}{x} }\) mamy \(\displaystyle{ y'=z'x+z}\) więc

\(\displaystyle{ z'x+z=z+ \frac{1}{z} }\)

\(\displaystyle{ z'x= \frac{1}{z} }\)

\(\displaystyle{ zz'= \frac{1}{x} }\)

a to są już zmienne rozdzielone, więc wystarczy scałkować i wstawić warunek początkowy.
Cześć! Mógłbyś zerknąć, czy jest dobrze rozwiązane?
\(\displaystyle{
\begin{cases} z = \frac{y}{x} \Rightarrow y=zx \\
\frac{dy}{dx} = \frac{d(zx)}{dx} = \frac{dz}{dx} \cdot x + \frac{dx}{dx} \cdot z = \frac{dz}{dx} \cdot x + z \end{cases} \\
\frac{dz}{dx} \cdot x + z = z + \frac{1}{z} /\cdot ()^{-1}\\
\frac{dx}{dz} \cdot \frac{1}{x} = z /\cdot dz\\
\frac{dx}{x} = zdz \\
\int \frac{dx}{x} = \int zdz\\
\ln|x| + C = \frac{1}{2}z^{2}\\
z = \pm \sqrt{2\ln|x| + C}\\
\sqrt{2} = \pm \sqrt{2\ln|1| + C} / \cdot ()^{2} \\
C = 2 - 2\ln|1| \\
C = 2 \\ \\
y = \pm \sqrt{2\ln|x| +2}
}\)

Pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 26 mar 2020, o 10:47 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2652
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 839 razy

Re: Zagadnienie Cauchy’ego

Post autor: Janusz Tracz » 26 mar 2020, o 10:04

xpmx pisze:
26 mar 2020, o 09:45
\(\displaystyle{
z = \pm \sqrt{2ln|x| + C}\\
\sqrt{2} = \pm \sqrt{2ln|1| + C} / \cdot ()^{2} \\
C = 2 - 2ln|1| \\
C = 2 \\ \\
y = \pm \sqrt{2ln|x| +2}
}\)

Pozdrawiam.
Żeby podstawiać warunek początkowy trzeba to równanie wyrazić w zmiennych \(\displaystyle{ x,y}\) a nie \(\displaystyle{ z}\) które było tylko pomocnicze. Rozwiązanie ma postać:

\(\displaystyle{ y^2=x^2\left( C+2\ln \left| x\right| \right) }\)

alternatywnie

\(\displaystyle{ y= \pm x \sqrt{ C+2\ln \left| x\right|} }\)

kładąc tu \(\displaystyle{ y(1)= \sqrt{2} }\) dostajemy

\(\displaystyle{ y= x \sqrt{ 2+2\ln \left| x\right|} }\)

xpmx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 25 mar 2020, o 18:48
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 4 razy

Re: Zagadnienie Cauchy’ego

Post autor: xpmx » 26 mar 2020, o 10:16

Żeby podstawiać warunek początkowy trzeba to równanie wyrazić w zmiennych \(\displaystyle{ x,y}\) a nie \(\displaystyle{ z}\) które było tylko pomocnicze. Rozwiązanie ma postać:

\(\displaystyle{ y^2=x^2\left( C+2\ln \left| x\right| \right) }\)

alternatywnie

\(\displaystyle{ y= \pm x \sqrt{ C+2\ln \left| x\right|} }\)

kładąc tu \(\displaystyle{ y(1)= \sqrt{2} }\) dostajemy

\(\displaystyle{ y= x \sqrt{ 2+2\ln \left| x\right|} }\)
Miałam 'x' w notatkach na brudno, tylko zapomniałam dopisać tutaj :P Dziękuję za pomoc!

ODPOWIEDZ