Rozwiąż równanie metodą rodzielania zmiennych

[Poor_student]

Bardzo proszę o pomoc
Nie rozumiem tak trudnych przykładów,wykładowca wytłumaczył tylko najprostsze, a na egzaminie dał takie
\(\displaystyle{
x^{2}y'+ \cos^{2}y=0, y(2)= \frac{ \pi }{4}}\)

[Janusz Tracz]

Równanie można przekształcić do postaci:

\(\displaystyle{ x^2y'+\cos^2 y=0}\)

\(\displaystyle{ \cos ^2 y = - x^2 \frac{ \dd y}{ \dd x } }\)

\(\displaystyle{ -\frac{ \dd x }{x^2} = \frac{ \dd y}{\cos ^2 y} }\)

\(\displaystyle{ - \int \frac{ \dd x }{x^2} = \int \frac{ \dd y}{\cos ^2 y} }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{x}+C=\tg y }\)

Podstawianie warunku początkowego pozostawię jako ćwiczenie.

[janusz47]

\(\displaystyle{ \frac{y^{'}}{\cos^2(y)} = -\frac{1}{x^2} }\)

Całkujemy obustronnie

\(\displaystyle{ \int\frac{dy}{\cos^2(y)}dy = \int -\frac{1}{x^2}dx }\)

....

Stałą \(\displaystyle{ C }\) wyznaczamy z warunku początkowego.

[Poor_student]

Okej,po podstawieniu wyszło mi \(\displaystyle{ C= \frac{1}{2} }\)
W zadaniu muszę sprawdzić czy jest on poprawny,jak mam to zrobić?

[Janusz Tracz]

Okej,po podstawieniu wyszło mi \(\displaystyle{ C= \frac{1}{2} }\)

Ok.

W zadaniu muszę sprawdzić czy jest on poprawny,jak mam to zrobić?

A co jest poprawne? Wynik w sensie czy otrzymana funkcja faktycznie spełnia równanie różniczkowe? Jeśli tak to zróżniczkuj stronami wynik:

\(\displaystyle{ \frac{ \dd }{ \dd x } \left( \frac{1}{x}+ \frac{1}{2}\right) = \frac{ \dd }{ \dd x } \tg \left( y(x)\right) }\)

\(\displaystyle{ \frac{-1}{x^2}= \frac{1}{\cos ^2 y} \cdot y' }\)

\(\displaystyle{ x^2y'+\cos^2 y=0}\)

czyli jest ok.

[Poor_student]

Moglibyście mi jeszcze pomóc z tym przykładem?
Próbowałem robić sam,lecz sprawdzenie mi nie wychodzi
\(\displaystyle{
y' = y^{2} \sin x, y( \frac{ \pi }{3}) =2
}\)
Muszę sprawdzić jej warunek początkowy oraz tożsamość określoną równaniem.

[Janusz Tracz]

Sytuacja jest zupełnie analogiczna, zmienne rozdzielone:

\(\displaystyle{ y' = y^{2} \sin x}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \dd y}{ \dd x } = y^{2} \sin x}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \dd y}{ y^2 } = \sin x \dd x }\)

\(\displaystyle{ \int \frac{ \dd y}{ y^2 } = \int\sin x \dd x }\)

\(\displaystyle{ \frac{-1}{y}=-\cos x +C }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{y}= \cos x +C}\)

\(\displaystyle{ y= \frac{1}{\cos x +C} }\)

Wylicz \(\displaystyle{ C}\) z warunku początkowego. A sprawdzenie robisz przez różniczkowanie.

[Poor_student]

Okej wyszło mi C=0,jak mam teraz wykonać sprawdzenie?
Nie wiem za bardzo co mam wstawić i zróżniczkować.

[Janusz Tracz]

Wstawić masz pod równanie. Czyli ostateczny wynik to:

\(\displaystyle{ y= \frac{1}{\cos x} }\)

Sprawdzenie możesz dokonać dla wyniku ogólnego lub szczególnego nie ma to znaczenia. A żeby nie liczyć brzydkich pochodnych to wynik można zapisać tak:

\(\displaystyle{ y\cos x =1 }\)

różniczkując stronami mamy

\(\displaystyle{ y'\cos x + y(-\sin x)=0}\)

\(\displaystyle{ y'\cos x= y\sin x}\)

\(\displaystyle{ y'= \frac{1}{\cos x} \cdot y\sin x}\)

ale \(\displaystyle{ \frac{1}{\cos x} }\) to był \(\displaystyle{ y}\) więc

\(\displaystyle{ y'= y^2\sin x}\)

[Poor_student]

Mam jeszcze trochę inny przykład:
\(\displaystyle{ 2y'\cos^{2}x+ y^{3}=0, y( \frac{ \pi }{6}) = \sqrt[4]{3} }\)
Proszę jeszcze o rozwiązanie tego

[Jan Kraszewski]

A może po dwóch rozwiązanych przykładach spróbowałbyś ten trzeci sam rozwiązać? Samodzielne rozwiązywanie daje dużo więcej niż oglądanie cudzych rozwiązań.

JK

[Poor_student]

Każdy próbuję sam rozwiązywać,lecz jak trafia się inny typ przykładu(jw) to już coś robię źle i sprawdzenie nie wychodzi.

\(\displaystyle{ 2y'\cos^{2}x+ y^{3}=0, y( \frac{ \pi }{6}) = \sqrt[4]{3}}\)

Pozbycie się mianownika:
\(\displaystyle{ \cos^{2}x= - \frac{y^{3}}{2y'} }\)

Całkowanie obustronne:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \cos^{2}x= \int_{}^{} - \frac{y^{3}}{2y'} }\)

Dalej mi nie wychodzi.

[Janusz Tracz]

Jak chcesz całkować to musisz mieć to zapisane w odpowiedniej formie.

\(\displaystyle{ \cos^{2}x= - \frac{y^{3}}{2y'}}\)

To się jeszcze nie nadaje do całkowania. Odwróć to/ podnieś do potęgi \(\displaystyle{ -1}\). Zapisywanie \(\displaystyle{ y'= \frac{ \dd y}{ \dd x } }\) pomaga zorientować się czy trzeba jeszcze przekształcać, czy już całkować.

[Poor_student]

\(\displaystyle{ -\cos ^{2}x= \frac{ ^{ y^{3} } }{2 \frac{dy}{dx} } }\)

[Jan Kraszewski]

Masz to doprowadzić do postaci

\(\displaystyle{ \text{coś}(y)\, \dd y =\text{coś}(x)\, \dd x .}\)

JK