S-8, od: niewiadomo, zadanie 3

Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

S-8, od: niewiadomo, zadanie 3

Post autor: Liga »

niewiadomo pisze:Oznaczmy ramię trójkąta równoramiennego a, podstawę 2c, wysokość h, pole trójkąta P.
Jeżeli obrócimy wokół podstawy otrzymamy bryłę złożoną z dwóch identycznych stożków, w które powstały przez obrót trójkąta prostokątnego, będącego połowa trójkąta równoramiennego. Zauważmy że objętość tego stożka jest tym większa im większe pole ma trójkąt prostokątny.
Podstawą tego trójkąta jest połowa podstawy trójkąta równoramiennego, czyli c, przeciwprostokątną a, a wysokości h. Z zadania wiemy że 2c+2a=90cm => a+c=45 => c=45-a.
Jak już powiedziałem objętość jest tym większa im większe pole. Tak więc musimy znaleźć dla jakiego a pole trójkąta prostokątnego jest największe. Wzór na pole wyraża się wzorem:
P=c*h/2 => uwzględniając c=45-a i tw. Pitagorasa Otrzymujemy \(\displaystyle{ P=\frac{(45-a) \sqrt{a^{2}-(45-a)^{2}}}{2}=\frac{ \sqrt{(45-a)^{2}(a^{2}-(45-a)^{2})}}{2}}\)
Ponieważ musimy znaeźć maksymalną wartość dla tego pola może znieść pierwiastek oraz w mianowniku 2, ponieważ z tym jak i bez tego a, dla którego wartość tej funkcji bedzie maksymalne, będzie takie same. Po uporzadkowaniu musimy znaleźć a dla którego:
(*)\(\displaystyle{ f(a)=45(45-a)^2(2a-45)}\)
45 możemy usunąć, z tych samych względów co wyżej. Ostatecznie funkcja wygląda:
\(\displaystyle{ f(a)=2^{3}-225a^2+8100a}\)
Można narysować ową funkcję i sprawdzić dla jakiego a wartość tej funkcji bedzię maksymalna wiemy również, że 22,5
Awatar użytkownika
scyth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

S-8, od: niewiadomo, zadanie 3

Post autor: scyth »

We wzorze f(a) zgubiło się a, ale to nic. Odczytywanie wartości z wykresu - mógł się bardziej postarać skoro ma miejsce zerowe (chyba, ze odczytanie z wykresu jest punktowane na maturze na maksa - wtedy nie ucinam). Proponuję 4/5.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

S-8, od: niewiadomo, zadanie 3

Post autor: mol_ksiazkowy »

nop, ehh ja mam w odp. , ze V max jest osiagane gdy ramie x=135/4, wiec cos chyba nie gra....?!!?
Awatar użytkownika
scyth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

S-8, od: niewiadomo, zadanie 3

Post autor: scyth »

niewiadomo pisze:Zauważmy że objętość tego stożka jest tym większa im większe pole ma trójkąt prostokątny.
Acha! Za bardzo przekombinował. Po podstawieniu do wzoru na objętość stożka otrzymujemy, że:
\(\displaystyle{ V=\frac{\pi}{3}(45-a)(a^2-(45-a)^2)}\)
a stąd już łatwo dojść do tego, że \(\displaystyle{ a_{max}=\frac{135}{4}}\)

W związku z tym 1/5? Czy zero?
BTW jeszcze pomylił się przy wyznaczaniu f(a) (lub specjalnie opuścił wyraz -91125 jako niestotny przy szukaniu ekstremum, ale wypadałoby napisać).
ODPOWIEDZ