*Kasia pisze:Zadanie 4
Dla jakich wartości parametru m, liczby x, y, z będące rozwiązaniem układu:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x+2y-3z=1-2m \\ x+y+z=m+4 \\ 2x-y+2z=2m+2. \end{cases}}\)
tworzą ciąg geometryczny?
Rozwiązanie:
Z drugiego i trzeciego równania:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}z=\frac{2}{3}m+\frac{8}{3}\\
\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}z=\frac{2}{3}m+\frac{2}{3}\end{cases}}\)
Odejmując stronami od pierwszego drugie równanie, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ y=\frac{8}{3}-\frac{2}{3}\\ y=2}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ y=2}\) do układu, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x-3z=-3-2m\\ x+z=m+2\\ 2x+2z=2m+4\end{cases}}\)
Ponieważ drugie i trzecie równanie jest tożsame, pozostaje:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x-3z=-3-2m\\ x+z=m+2\end{cases}\\
\begin{cases} 3x-3z=-3-2m\\ 3x+3z=3m+6\end{cases}}\)
Dodając stronami, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 6x=m+3\\
x=\frac{m}{6}+\frac{1}{2}}\)
Odejmując stronami od pierwszego drugie równanie z wcześniejszego układu dwóch równań i podstawiając \(\displaystyle{ x=\frac{m}{6}+\frac{1}{2}}\), otrzymujemy:
\(\displaystyle{ -6z=-9-5m\\
z=\frac{3}{2}+\frac{5m}{6}}\)
Zatem otrzymujemy układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=\frac{m}{6}+\frac{1}{2}\\ y=2\\ z=\frac{3}{2}+\frac{5m}{6}\end{cases}}\)
Ponieważ liczby x, y, z tworzą ciąg geometryczny, to iloczyn wyrazów skrajnych jest równy kwadratowi wyrazu środkowego, czyli:
\(\displaystyle{ x\cdot z=y^2\\
(\frac{m}{6}+\frac{1}{2})\cdot(\frac{3}{2}+\frac{5m}{6})=2^2\qquad ||\cdot 36\\
(m+3)(9+5m)=144\\
5m^2+24m+27=144\\
5m^2+24m-117=0\\
\Delta=24^2+4\cdot 5\cdot 117=2916\\
m_1=\frac{\sqrt{\Delta}-24}{2\cdot 5}=3,\ m_2=\frac{-\sqrt{\Delta}-24}{2\cdot 5}=-7,8}\)
Odpowiedź: Aby liczby x, y, z będące rozwiązaniem danego układu równań tworzyły ciąg geometryczny, \(\displaystyle{ m\in\{-7,8;\ 3\}}\)
