żS-7, od: *Kasia, zadanie 2

[Liga]

Zadanie 2:
Wykazać, że liczba \(\displaystyle{ x=99999+100000\sqrt{3}}\) nie może być zapisana w postaci \(\displaystyle{ \left(a+b\sqrt{3}\right)^2}\), gdzie a i b są liczbami całkowitymi. Sprawdzić też, że liczbę \(\displaystyle{ y=507+264\sqrt{3}}\) da się w tej postaci przedstawić.

Rozwiązanie:

Przyjmijmy, że możliwe jest zapisanie liczby \(\displaystyle{ y=507+264\sqrt{3}}\) w postaci \(\displaystyle{ (a_y+b_y\cdot\sqrt{3})^2}\), gdzie \(\displaystyle{ a_y,b_y\in\mathbb{C}}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ y=a_y^2+3b_y^2+2a_yb_y\sqrt{3}=507+264\sqrt{3}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ a_y,\ b_y\in\mathbb{C}}\), to:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_y^2+3b_y^2=507\\2a_yb_y=264\qquad a_y=\frac{132}{b_y} \end{cases}}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ a_y=\frac{132}{b_y}}\) do pierwszego równania, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{132^2}{b_y^2}+3b_y^2=507\qquad (b_y\neq 0)\\
3b_y^4-507b_y^2+17424=0\\
b_y^2=48\ (b_y\notin\mathbb{C})\vee b_y^2=121\\
b_y=11\vee b_y=-11}\)
1.\(\displaystyle{ b_y=11}\)
\(\displaystyle{ a_y=\frac{132}{b_y}=12}\)
2.\(\displaystyle{ b_y=-11}\)
\(\displaystyle{ a_y=-12}\)

\(\displaystyle{ y=(12+11\sqrt{3})^2=(-12-11\sqrt{3})^2}\)

Sprawdzenie:
\(\displaystyle{ (12+11\sqrt{3})^2=144+363+264\sqrt{3}=507+264\sqrt{3}}\)



Załóżmy, że można liczbę \(\displaystyle{ x=99999+100000\sqrt{3}}\) przedstawić w postaci \(\displaystyle{ x=(a+b\sqrt{3})^2}\), gdzie \(\displaystyle{ a, b\in\mathbb{C}}\)
Wtedy: \(\displaystyle{ a^2+3b^2+2ab\sqrt{3}=99999+100000\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+3y^2=99999\\2ab=100000 \end{cases}}\)
Z pierwszego równania wynika, że \(\displaystyle{ 3|a^2}\), a z tego wynika \(\displaystyle{ 3|a}\) (prawa strona jest podzielna przez 3, zatem lewa również powinna).
Z drugiego równania wynika, że 3 nie jest dzielnikiem a (prawa strona nie jest podzielna przez 3, więc lewa również nie powinna).
Sprzeczność, a więc założenie było błędne.
Czyli liczby \(\displaystyle{ x=99999+100000\sqrt{3}}\) nie można przedstawić w postaci \(\displaystyle{ (a+b\sqrt{3})^2}\), dla \(\displaystyle{ a, b\in\mathbb{C}}\).

[scyth]

6/6