żS-7, od: Sylwek, zadanie 1

Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

żS-7, od: Sylwek, zadanie 1

Post autor: Liga »

Sylwek pisze:Mamy parabolę określoną wzorem:
\(\displaystyle{ y=\frac{x^2}{2}}\)

Oraz okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ A(1,1)}\), który ma dokładnie jeden punkt wspólny z parabolą:
\(\displaystyle{ (x-1)^2+(y-1)^2=r^2}\)

Podstawiamy y z równania paraboli do równania okręgu:
\(\displaystyle{ (x-1)^2+(\frac{x^2}{2}-1)^2-r^2=0 \\ x^2-2x+1+\frac{x^4}{4}-x^2+1-r^2=0 \\ \frac{x^4}{4}-2x+2-r^2=0 \\ x^4-8x+8-4r^2=0}\)

Oznaczmy \(\displaystyle{ o(x)=x^4-8x+8-4r^2=0}\). Obliczmy \(\displaystyle{ o'(x)}\):
\(\displaystyle{ o'(x)=4x^3-8}\).

Ponieważ \(\displaystyle{ o'(x)}\) jest rosnąca w całej swojej dziedzinie, to funkcja \(\displaystyle{ o(x)}\) posiada minimum globalne w punkcie, w którym:
\(\displaystyle{ o'(x)=0 \\ 4x^3-8=0 \\ x^3=2 \\ x=\sqrt[3]{2}}\)

A zatem:
\(\displaystyle{ y=\frac{\sqrt[3]{2}^2}{2}=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}\)

Odpowiedź: Ten punkt to: \(\displaystyle{ B(\sqrt[3]{2}, \frac{\sqrt[3]{4}}{2})}\)
Ostatnio zmieniony 18 lis 2007, o 21:00 przez Liga, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
scyth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

żS-7, od: Sylwek, zadanie 1

Post autor: scyth »

Sylwek pisze:Oraz okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ A(1,1)}\), który ma dokładnie jeden punkt wspólny z parabolą:
\(\displaystyle{ (x-1)^2+(y-1)^2=r^2}\)
Czy aby na pewno? A jeśli byłyby dwa?
Mnie to rozwiązanie za bardzo się nie podoba. Widzę pomysł ale troszkę brak dodatkowego uzasadnienia. Jak Wy to oceniacie?
Awatar użytkownika
scyth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

żS-7, od: Sylwek, zadanie 1

Post autor: scyth »

ponieważ nikt nie odpowiada a zaraz podniosą się krzyki o wyniki to proponuję dać 4/5.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

żS-7, od: Sylwek, zadanie 1

Post autor: mol_ksiazkowy »

okey , dobra ma idee. etc
Awatar użytkownika
scyth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

żS-7, od: Sylwek, zadanie 1

Post autor: scyth »

choć z drugiej strony może i niepotrzebnie mu ten punkt odebrałem. Jakby były dwa punkty wspólne to pewnie by napisał, że są dwa, bo najpierw by je wyliczył... Wynik jest OK, rozumowanie poprawne, może jednak 5/5?
ODPOWIEDZ