żS-7, od: Szemek, zadanie 2

Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

żS-7, od: Szemek, zadanie 2

Post autor: Liga »

Szemek pisze:\(\displaystyle{ x=99999+100000\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ \left(a+b\sqrt{3}\right)^2=99999+100000\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ \left(a+b\sqrt{3}\right)^2=a^2+2\sqrt{3}ab+3b^2}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+3b^2=99999 \\ 2\sqrt{3}ab=100000\sqrt{3} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+3b^2=99999 \\ ab=50000 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+3b^2=99999 \\ b=\frac{50000}{a} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+3 \left(\frac{50000}{a} \right)^2=99999 \\ b=\frac{50000}{a} \end{cases}}\)
Musi być spełniony warunek, że \(\displaystyle{ a \neq 0 \wedge b \neq 0}\) ponieważ dla \(\displaystyle{ a=0}\), wyrażenie\(\displaystyle{ \left(a+b\sqrt{3}\right)^2}\) ma postać\(\displaystyle{ (b\sqrt{3})^2=3b^2}\), natomiast dla \(\displaystyle{ b=0}\) wyrażenie jest równe \(\displaystyle{ a ^2}\). Zarówno \(\displaystyle{ 3b^2}\) jak i \(\displaystyle{ a^2}\) są liczbami całkowitymi, a do udowodnienia jest liczba niewymierna \(\displaystyle{ x=99999+100000\sqrt{3}}\).
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+3 \left(\frac{50000}{a} \right)^2=99999 \ \ \ \ | \cdot a^2, \hbox{ bo } a \neq 0 \\ b=\frac{50000}{a} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^4-99999a^2+7500000000=0 \\ b=\frac{50000}{a} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ t=a^2 \wedge t>0 \hbox{, bo }a\neq 0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} t^2-99999t+7500000000=0 \\ b=\frac{50000}{a} \end{cases}}\)
Z pierwszego równania:
\(\displaystyle{ \Delta_t=99999^2-4 7500000000 = 9999800001 - 30000000000 = -20000199999}\)
\(\displaystyle{ \Delta_t 0 \hbox{, bo }a\neq 0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} t^2-507t+52272=0 \\ b=\frac{132}{a} \end{cases}}\)
Z pierwszego równania:
\(\displaystyle{ \Delta_t=507^2-4 52272 = 257049 - 209088 = 47961}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta_t}=219}\)
\(\displaystyle{ t=\frac{507-219}{2} t=\frac{507+219}{2}}\)
\(\displaystyle{ t=144 t=363}\)
\(\displaystyle{ a^2=144 a^2=363}\)
\(\displaystyle{ \left( a=-12 a=12 |a|=11\sqrt{3}\right) a \mathbb {C}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=-12 \\ b=\frac{132}{a} \end{cases} \begin{cases} a=12 \\ b=\frac{132}{a} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=-12 \\ b=-11 \end{cases} \begin{cases} a=12 \\ b=11 \end{cases}}\)
Odpowiedź: Liczbę \(\displaystyle{ y=507+264\sqrt{3}}\) da się przedstawić w postaci \(\displaystyle{ \left(a+b\sqrt{3}\right)^2}\) jako \(\displaystyle{ (-12-11\sqrt{3})^2}\) lub \(\displaystyle{ (12+11\sqrt{3})^2}\)
Ostatnio zmieniony 18 lis 2007, o 21:01 przez Liga, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
scyth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

żS-7, od: Szemek, zadanie 2

Post autor: scyth »

przydługawo ale poprawnie, 6/6
ODPOWIEDZ