żS-7, od: Szemek, zadanie 1

Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

żS-7, od: Szemek, zadanie 1

Post autor: Liga »

Szemek pisze:\(\displaystyle{ x^{2}=2y}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}x^2}\)
Niech punkt P należy do wykresu \(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}x^2}\), zatem współrzędne można oznaczyć \(\displaystyle{ P(x,\frac{1}{2}x^2)}\)
\(\displaystyle{ |AP|=\sqrt{(x-1)^2+(\frac{1}{2}x^2-1)^2}}\)
\(\displaystyle{ |AP|=\sqrt{x^2-2x+1+\frac{1}{4}x^4-x^2+1}}\)
\(\displaystyle{ |AP|=\sqrt{\frac{1}{4}x^4-2x+2}}\)
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x \in \mathbb{R}} \frac{1}{4}x^4-2x+2>0}\)
\(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{\frac{1}{4}x^4-2x+2}}\), \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\)
Oznaczam:
\(\displaystyle{ h(x)=\frac{1}{4}x^4-2x+2}\)
\(\displaystyle{ g(h(x))=\sqrt{\frac{1}{4}x^4-2x+2}}\)
\(\displaystyle{ f(x)=g(h(x))}\)
Obliczam pochodną funkcji f(x).
\(\displaystyle{ f'(x)= \left[g(h(x)) \right]' =g'(h(x)) \cdot h'(x)= \frac{1}{2 \cdot \sqrt{\frac{1}{4}x^4-2x+2}} \cdot (x^3-2)=\frac{x^3-2}{2 \sqrt{\frac{1}{4}x^4-2x+2}}}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{x^3-2}{2 \sqrt{\frac{1}{4}x^4-2x+2}}}\)
Wyznaczam miejsca zerowe pochodnej
\(\displaystyle{ 0=\frac{x^3-2}{2 \sqrt{\frac{1}{4}x^4-2x+2}} \ \ \ | \cdot (2 \sqrt{\frac{1}{4}x^4-2x+2}), \hbox{ bo } \bigwedge\limits_{x \in \mathbb{R}} \frac{1}{4}x^4-2x+2>0}\)
\(\displaystyle{ (x-\sqrt[3]{2})(x^2+\sqrt[3]{2}x+\sqrt[3]{4})=0 \ \ \ | x^2+\sqrt[3]{2}x+\sqrt[3]{4}), \ \hbox{ bo } ft[ \Delta=(\sqrt[3]{2})^2-4\sqrt[3]{4} \iff \Delta=-3\sqrt[3]{4} \iff \Delta}\)
Ostatnio zmieniony 18 lis 2007, o 21:01 przez Liga, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
scyth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

żS-7, od: Szemek, zadanie 1

Post autor: scyth »

No trochę zamotał z tym wyznaczaniem miejsc zerowych pochodnej, ale w końcu jakoś wybrnął. Metoda OK, wykonanie mogło byc lepsze, ale i tak daję 5/5
ODPOWIEDZ