żS-7, od: *Kasia, zadanie 3

[Liga]

Wybrano na wykresie funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\tfrac{1}{x}}\) dwa punkty A i B, o odciętych równych odpowiednio \(\displaystyle{ x_{A}=\frac{1}{2}}\), \(\displaystyle{ x_{B}=8}\). Podać współrzędne punktu styczności \(\displaystyle{ P}\) tej stycznej do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\), która jest równoległa do odcinka \(\displaystyle{ AB}\).

Rozwiązanie:

Najpierw znajdźmy współrzędne punktów A i B:
\(\displaystyle{ x_A=\frac{1}{2}\\
y_A=\frac{1}{x_A}=2\\
x_B=8\\
y_B=\frac{1}{x_B}=\frac{1}{8}}\)
Zatem \(\displaystyle{ A=(\frac{1}{2};2),\ B=(8;\frac{1}{8})}\).

Wyznaczmy równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B:
\(\displaystyle{ y=ax+b\\
\begin{cases} y_A=a\cdot x_A+b\\y_B=a\cdot x_B+b \end{cases} \\
\begin{cases} 2=\frac{1}{2}a+b\\\frac{1}{8}=8a+b \end{cases} \\
\begin{cases} 32=8a+16b\\\frac{1}{8}=8a+b \end{cases} \\
31\frac{7}{8}=15b\\
b=\frac{17}{8}\\
a=4-2b=-\frac{1}{4}\\
y=-\frac{1}{4}x+\frac{17}{8}}\)

Zatem równanie prostej równoległej do AB ma postać \(\displaystyle{ y=-\frac{1}{4}x+b_2}\) (proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy).
Znajdźmy zatem taki punkt P należący do wykresu funkcji \(\displaystyle{ y=\frac{1}{x}}\), aby pochodna funkcji w tym punkcie wynosiła \(\displaystyle{ -\frac{1}{4}}\).
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x}\\
f'(x)=-\frac{1}{x^2}\\
-\frac{1}{x^2}=-\frac{1}{4}\\
x^2=4\\
x\in\{-2;2\}}\)
Czyli jest to pochodna w punkcie o współrzędnej \(\displaystyle{ x=-2\ \ x=2}\)
Zatem \(\displaystyle{ P_1=(-2;-\frac{1}{2});\ P_2=(2;\frac{1}{2})}\)

Odpowiedź: Punkty styczności stycznych równoległych do AB to: \(\displaystyle{ P_1=(-2;-\frac{1}{2});\ P_2=(2;\frac{1}{2})}\)

[scyth]

elegancki zapis i poprawne rozwiązanie, 5/5