Matematyka.pl

Sylwek pisze:\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{1}{\sqrt{x+y}-\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x+y}-\sqrt{x}}{y} =\frac{3}{8} \\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=7 \end{cases}}\)

Najpierw dziedzina:
\(\displaystyle{ \mathbb{D}: x \geq 0 \wedge y>0}\)

I dopiero zabawa . Pozbywamy się niewymierności z pierwszego mianownika z pierwszego równania:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{x+y}+\sqrt{x}}{y}-\frac{\sqrt{x+y}-\sqrt{x}}{y} =\frac{3}{8} \\ \frac{2\sqrt{x}}{y}=\frac{3}{8} \\ 16\sqrt{x}=3y}\)

Dostajemy postać równoważną:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 16\sqrt{x}=3y \\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=7 \end{cases} \\ \begin{cases} 16\sqrt{x}=3y \\ 16\sqrt{x}+16\sqrt{y}=112 \end{cases}}\)

Odejmijmy stronami:
\(\displaystyle{ 16\sqrt{y}=112-3y \\ 256y=12544-672y+9y^2=0 \\ 9y^2-928y+12544=0 \\ y=16 \vee y=\frac{784}{9}}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{784}{9}}>7}\), to z drugiego równania wynika, że \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\)