Matematyka.pl

szydra pisze:Suma współczynników przy pierwszych trzech wyrazach wynosi 22, więc:

\(\displaystyle{ {m \choose 0}+{m \choose 1}+{m \choose 2}=22}\)
\(\displaystyle{ 1+m+\frac{m(m-1)}{2}=22}\)
\(\displaystyle{ m^2+m-42=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta_{m}=1+4 42=169}\), więc \(\displaystyle{ m_{1}=\frac{-1-\sqrt{169}}{2}=-7}\) oraz \(\displaystyle{ m_{2}=\frac{-1+\sqrt{169}}{2}=6}\). Jednak pierwszą wartość odrzucamy jako niespełniającą warunków zadania. Suma trzeciego i piątego wyrazu wynosi:
\(\displaystyle{ {6 \choose 2}(\sqrt{2^x})^4(\frac{1}{\sqrt{2^{x-1}}})^2+{6 \choose 4}(\sqrt{2^x})^2(\frac{1}{\sqrt{2^{x-1}}})^4 = 15 2^{x+1}+15 \frac{1}{2^{x-2}}}\)
Uwzględniając, że suma ta wynosi \(\displaystyle{ 135}\) oraz podstawiając \(\displaystyle{ t=2^x}\) otrzymujemy:

\(\displaystyle{ 15 2 t+15 \frac{4}{t}=135}\)
\(\displaystyle{ 2t^2-9t+4=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta_{t}=(-9)^2-4\cdot 2\cdot 4=49}\), więc \(\displaystyle{ t_{1}=\frac{9-\sqrt{49}}{4}=\frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ t_{2}=\frac{9+\sqrt{49}}{4}=4}\). Wracając do niewiadomej \(\displaystyle{ x}\) mamy:
\(\displaystyle{ 2^x=\frac{1}{2}}\) lub \(\displaystyle{ 2^x=4}\), czyli \(\displaystyle{ x=-1}\) lub \(\displaystyle{ x=2}\)

odp. \(\displaystyle{ x \{ -1, 2 \}}\)