żS-4, od: szydra, zadanie 1

[Liga]

Zadanie rozwiążemy wprowadzając układ współrzędnych.
Niech prosta \(\displaystyle{ l}\) pokrywa się z osią \(\displaystyle{ OX}\), a współrzędne środka okręgu \(\displaystyle{ o}\) mają postać \(\displaystyle{ (0, y_{s})}\), gdzie \(\displaystyle{ y_{s}>0}\). Dodatkowo na osi \(\displaystyle{ OY}\) przyjmijmy jednostkę równą długości promienia okręgu \(\displaystyle{ o}\). Wówczas współrzędne \(\displaystyle{ (x, y)}\) środka okręgu stycznego do prostej \(\displaystyle{ l}\) oraz okręgu \(\displaystyle{ o}\) spełniają warunek:

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+(y-y_{s})^2}=1+y}\)

tzn. odległość środków rozważanych okręgów jest równa sumie długości ich promieni. Dalej mamy:

\(\displaystyle{ x^2+y^2-2yy_{s}+y_{s}^2=1+2y+y^2}\)
\(\displaystyle{ 2(y_{s}+1)y=x^2+y_{s}^2-1}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{x^2}{2(y_{s}+1)}+\frac{y_{s}-1}{2}}\)

Wykazaliśmy, że współrzędne środków okręgów o żądanej własności spełniają równanie, które przedstawia parabolę, co dowodzi tezy.

[scyth]

przydałby się rysunek, ale rozwiązanie jak najbardziej poprawne, 5/5

[mol_ksiazkowy]

ok
brak zastzrezen