Matematyka.pl

Szemek pisze:\(\displaystyle{ m_{n}=3^{2n+1}+40n-67, n\in\mathbb{N}}\)
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{n\in\mathbb{N}}}\)[\(\displaystyle{ 64| m_{n} \bigvee\limits_{x \mathbb{C}} m_n=64x}\)]
Dowód przeprowadzam z wykorzystaniem zasady indukcji matematycznej.
1) Niech \(\displaystyle{ n_0=0}\)
\(\displaystyle{ L=m_0=3-67=-64}\)
\(\displaystyle{ P=64x}\)
\(\displaystyle{ -64=64x}\)
\(\displaystyle{ x=-1,x\in\mathbb{C}}\)
\(\displaystyle{ L=P}\)
2)Wykażę, że
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{k\in\mathbb{N} k q n_0}}\)[\(\displaystyle{ \bigvee\limits_{a \mathbb{C}} m_k=64a \bigvee\limits_{b \mathbb{C}} m_{k+1}=64b}\)]
\(\displaystyle{ L=m_{k+1}=3^{2(k+1)+1}+40(k+1)-67=3^{2k+3}+40k-27=}\)
z założenia indukcyjnego\(\displaystyle{ m_k=64a,\hbox{ } m_k=3^{2k+1}+40k-67}\)
\(\displaystyle{ =3^{2k+3}+40k-27+[64a - (3^{2k+1}+40k-67)]=3^{2k+3}-3^{2k+1}+40+64a=}\)
\(\displaystyle{ =3^{2k}(3^3-3)+40+64a=24 9^k+40+64a=24 9^k+40+64a=}\)
\(\displaystyle{ =24 (9^k-1)+24+40+64a=8\cdot3 (3^k-1)(3^k+1)+64+64a=}\)
\(\displaystyle{ 3^k-1}\) jest liczbą parzystą a \(\displaystyle{ 3^k+1}\) jest następną liczbą parzystą i te liczby można zapisać następująco: \(\displaystyle{ 2p=3^k-1, \hbox{dla }p\in\mathbb{N}}\) \(\displaystyle{ 2(p+1)=3^k+1, \hbox{dla }p\in\mathbb{N}}\)
\(\displaystyle{ =8\cdot3 2p 2(p+1)+64+64a=3 32 p(p+1)+64+64a=}\)
iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest liczbą parzystą,
oznaczam \(\displaystyle{ p(p+1)=2q, \hbox{dla }q\in\mathbb{N}}\)
\(\displaystyle{ 3 32 2q+64+64a=3 64q+64+64a=64(3q+a+1)=64b=P}\)
\(\displaystyle{ 3q\in\mathbb{N},a\in\mathbb{C} \\ 3q+a+1\in\mathbb{C} \\b\in\mathbb{C}}\)
\(\displaystyle{ L=P, \hbox{ }3q+a+1=b}\)
3)Zatem na mocy zasady indukcji matematycznej z punktów 1) i 2) wynika, że dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) liczba \(\displaystyle{ m_{n}=3^{2n+1}+40n-67}\) jest podzielna przez 64

oznaczam liczbę nieparzystą \(\displaystyle{ n}\) jako \(\displaystyle{ n=2t+1, \hbox{dla } t\in\mathbb{N}}\)
\(\displaystyle{ m_n=m_{2t+1}=3^{2(2t+1)+1}+40(2t+1)-67=3^{4t+3}+80t+40-67}\)
dla kolejnych wartości \(\displaystyle{ t=0,1,2,\ldots}\)
kolejne potęgi \(\displaystyle{ 3^3,3^7,3^{11},\ldots}\) mają cyfrę jedności równą \(\displaystyle{ 7}\), a więc całe wyrażenie \(\displaystyle{ 3^{4t+3}+80t+40-67}\) będzie miało jedności równą \(\displaystyle{ 0}\) (bo \(\displaystyle{ \ldots 7+\ldots 0+\ldots 0-\ldots 7=0}\)), zatem całe wyrażenie będzie podzielne przez 5
Odp. Dla dowolnej nieparzystej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\), \(\displaystyle{ m_{n}}\) dzieli się przez 5.

Szemek pisze:kolejne potęgi \(\displaystyle{ 3^3,3^7,3^{11},\ldots}\) mają cyfrę jedności równą \(\displaystyle{ 7}\)