Matematyka.pl

szydra pisze:Niech x będzie wysokością danego stożka w \(\displaystyle{ dm}\). Wówczas kwadrat promienia podstawy wynosi \(\displaystyle{ r^2=2^2-x^2=4-x^2}\), a objętość V stożka:
\(\displaystyle{ V(x)=\frac{\pi}{3}(4x-x^3)}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in (0,2)}\)
\(\displaystyle{ V'(x)=\frac{\pi}{3}(4-3x^2)}\)
\(\displaystyle{ V'(x)=0 \iff x=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\). \(\displaystyle{ V}\) ma w tym punkcie maksimum ponieważ \(\displaystyle{ V'}\) zmienia znak z "\(\displaystyle{ +}\)" na "\(\displaystyle{ -}\)". A z równości:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0+}V(x)=\lim_{x\to 2-}V(x)=0}\)
wynika, że \(\displaystyle{ V_{max}(\frac{2\sqrt{3}}{3})=\frac{16 \pi \sqrt{3}}{27}}\) jest największą wartością \(\displaystyle{ V}\) w rozpatrywanym przedziale.