żS-3, od: Sylwek, zadanie 1
: 10 paź 2007, o 15:55
Sylwek pisze:\(\displaystyle{ f(x)=Ax^{2}+x+B\ln(x)}\)
Zacznijmy od dziedziny funkcji f(x): \(\displaystyle{ \mathbb{D}: \ x \in (0, +\infty)}\)
Obliczmy także pochodną funkcji f(x), ponieważ będę ją później wykorzystywał w rozwiązaniu:
\(\displaystyle{ f'(x)=2Ax+1+\frac{B}{x}}\)
a. Rozwiązujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(1)=2 \\ f'(1)=4\end{cases} \\ \begin{cases}A+1+B \ln(1)=2 \\ 2A+1+B=4 \end{cases} \\ \begin{cases}A=1 \\ 2A+B=3 \end{cases} \\ \begin{cases} A=1 \\ B=1 \end{cases}}\)
b. Funkcja osiąga wartości ekstremalne, gdy f'(x)=0
\(\displaystyle{ f'(x)=0 \iff (x=1 \vee x=2) \\ \begin{cases}2A+1+B=0 \\ 4A+1+\frac{B}{2}=0 \end{cases} \\ \begin{cases} 2A+B=-1 \\ 8A+B=-2 \end{cases} \\ 6A=-1 \\ A=-\frac{1}{6} \\ B=-\frac{2}{3} \\ \begin{cases} A=-\frac{1}{6} \\ B=-\frac{2}{3}\end{cases}}\)
c. Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich. Aby były spełnione warunki zadania, musi zachodzić:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x>0} f'(x) \geq 0 \\ \bigwedge\limits_{x>0} 2Ax+1+\frac{B}{x} \geq 0 \\ \bigwedge\limits_{x>0} 2Ax^2+x+B \geq 0}\)
Jeśli A\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} f'(x)=-\infty}\), czyli nie spełnia założeń zadania. Rozważmy teraz dwa przypadki:
1) \(\displaystyle{ 2A=0 \iff A=0}\)
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x>0} x+B \geq 0 \iff B \geq 0 \\ \begin{cases}A=0 \\ B \geq 0 \end{cases}}\)
2) \(\displaystyle{ 2A>0 \iff A>0 \\ \begin{cases} x_{1}x_{2} \geq 0 \\ x_{1}+x_{2} \leq 0 \end{cases} \\ \begin{cases} \frac{B}{2A} \geq 0 \\ \frac{-1}{2A} \leq 0 \end{cases} \\ B \geq 0}\)
Podsumowując, warunki zadania sa spełnione, gdy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}A \geq 0 \\ B \geq 0 \end{cases}}\)