Seria 3 (08.10.07r.-14.10.07r.)
: 8 paź 2007, o 00:37
- Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)=Ax^{2}+x+B\ln(x).}\)
- Wyznacz \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B,}\) jeśli wiemy, że \(\displaystyle{ f(1)=2, \, f^\prime(1)=4.}\)
- Dla jakich \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B,}\) \(\displaystyle{ f}\) osiąga ekstremum w punktach \(\displaystyle{ x=1}\) i \(\displaystyle{ x=2\mbox}\)?
- Jakie muszą być \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B,}\) aby \(\displaystyle{ f}\) była rosnąca na całej dziedzinie?
- Wykaż metodą indukcji, że dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}_{+}}\) liczba \(\displaystyle{ m_{n}=3^{2n+1}+40n-67}\) jest podzielna przez 64. Potem uzasadnij, że gdy \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, to \(\displaystyle{ m_{n}}\) dzieli się przez 5.
- Chcemy sporządzić lejek w kształcie stożka o tworzącej równej \(\displaystyle{ 2\mbox{dm}.}\) Jaka powinna być jego wysokość, aby objętość była największa?
- Na okręgu umieszczono \(\displaystyle{ 10}\) liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x_{j}}\) o sumie równej \(\displaystyle{ 100}\) ale tak, że po dodaniu dowolnych trzech kolejnych z nich, otrzyma się co najmniej \(\displaystyle{ 29.}\) Niech \(\displaystyle{ a}\) to będzie maksimum spośród wszystkich \(\displaystyle{ x_{j}.}\) Znajdź możliwie największa wartość \(\displaystyle{ a.}\)