Matematyka.pl

luka52 pisze:Cięciwą będzie zawsze odcinek prostej \(\displaystyle{ y = m(x-3), \ \ m \mathbb{R}}\) (r. to wynika z warunku zad.).
Wyliczmy zatem współrzędne punktów przecięcia się prostej i okręgu:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ y = m(x-3) \end{cases}}\)
podstawiając r. drugie do pierwszego otrzymujemy równanie kwadratowe, z którego łatwo wyznaczamy pierwiastki, a następnie końcowe rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 = \frac{3m^2 - \sqrt{25 + 16m^2}}{1+m^2} \\ y_1 = -3 m + \frac{3m^3 - m \sqrt{25 + 16m^2}}{1+m^2} \end{cases} \ \ \mbox{lub} \ \ \begin{cases} x_2 = \frac{3m^2 + \sqrt{25 + 16m^2}}{1+m^2} \\ y_2 = -3 m + \frac{3m^3 + m \sqrt{25 + 16m^2}}{1+m^2} \end{cases}}\)

Środek cięciwy S, to punkt \(\displaystyle{ S = ft( \frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2} \right) = ft( \frac{3m^2}{1+m^2}, -\frac{3m}{1+m^2} \right)}\)

Zauważmy dodatkowo, że równanie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = \frac{3m^2}{1+m^2} \\ y = -\frac{3m}{1+m^2} \end{cases}}\)
to parametryczne równanie okręgu o równaniu (w postaci kanonicznej) \(\displaystyle{ (x-1.5)^2 + y^2 = (1.5)^2}\).
Zatem środki cięciw tworzą okrąg o środku w punkcie (1,5; 0) i promieniu 1,5.