Matematyka.pl

luka52 pisze:Zauważmy, że \(\displaystyle{ t>0}\), gdyż:
\(\displaystyle{ \sqrt{1+\sin^2 x} > \sqrt{\sin^2 x} = |\sin x| \geqslant - \sin x \Rightarrow \sin x + \sqrt{1+\sin^2 x} > 0}\)
dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\)
Wyliczając z podstawienie sin x:
\(\displaystyle{ t - \sin x = \sqrt{1 + \sin^2 x}\\
t^2 - 2 t \sin x + \sin^2 x = 1 + \sin^2 x\\
t^2 - 1 = 2t \sin x\\
\sin x = \frac{t^2 - 1}{2t}}\)
podstawiamy wyliczoną wartość do danego wyrażenia na w:
\(\displaystyle{ w = \frac{\frac{t^2 - 1}{2t}}{\cos^2 x \sqrt{1 + \left( \frac{t^2 - 1}{2t} \right)^2 }}\\
w = \frac{t^2 - 1}{\cos^2 x (t^2 + 1)} \quad (*)}\)
(przy upraszczaniu do powyższej postaci należało skorzystać z faktu iż t>0)
Z jedynki trygonometrycznej wyliczamy cos�x:
\(\displaystyle{ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - ft( \frac{t^2 - 1}{2t} \right)^2}\)
Co po podstawieniu do r.(*) daje po uproszczeniu:
\(\displaystyle{ w = \frac{4t^2 (1 - t^2 )}{t^6 - 5t^4 - 5t^2 + 1}}\)