żS-1, od: paskuda, zadanie 3
: 1 paź 2007, o 07:03
paskuda pisze:Taka prosta istnieje i nazywana jest prostą Eulera.
DOWÓD:
H-punkt przecięcia wysokości trójkąta ABC
O-środek koła opisanego na trójkącie ABC
S - środek ciężkości trójkąta ABC
A', B' i H' są obrazami odpowiednio punktów A,B,H w jednokładności o skali \(\displaystyle{ k=\frac{1}{2}}\) i środku w punkcie C.
Wtedy 2A'H'=AH.
Czworokąt A'OB'H' jest równoległobokiem (widać to z rysunku), więc OB' = A'H'.
Zatem 2OB'=AH.
Środek ciężkości S dzieli środkowe w trójkącie w stosunku 2:1, więc AS=2B'S .
OB' || AH, więc kąty OB'S i HAS są sobie równe (kąty naprzemianległe).
Zatem ΔB'OS, jest obrazem ΔAHS w jednokładności o środku w S i skali k .
Stąd otrzymujemy, że punkty S,O,H leżą na jednej prostej.
c.n.d.
imagic .pl/files /view /5380 / Obraz%20001 .jpg