Matematyka.pl

luka52 pisze:Dany ciąg geometryczny możemy zapisać jako:
\(\displaystyle{ 3^{x_1}, q 3^{x_1}, q^2 3^{x_1}, \ldots}\)
Podstawiając następnie \(\displaystyle{ k = \log_3 q q = 3^k}\), kolejne wyrazy c. g. mają postać:
\(\displaystyle{ 3^{x_1}, 3^{x_1 + k}, 3^{x_1 + 2k}, \ldots}\), czyli:
\(\displaystyle{ x_2 = x_1 + k, \quad x_3 = x_1 + 2k, \quad x_n = x_1 + (n-1)k}\)
Podstawiając powyższe do pierwszego równania z treści zadania otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x_1 + x_1 + k + x_1 + 2k + \ldots + x_1 + 10k = 55\\
11x_1 + 55k = 55 \quad (*)}\)
Z warunku zadania \(\displaystyle{ x_5 = 4}\) możemy wyliczyć k, gdyż:
\(\displaystyle{ (x_5 = x_1 + 4k x_5 = 4 ) x_1 + 4k = 4 k = \frac{4 - x_1}{4}}\)
co po podstawieniu do równania (*) daje nam:
\(\displaystyle{ 11x_1 + \frac{55}{4}(4 - x_1) = 55}\)
Wyliczając z tego równania \(\displaystyle{ x_1}\), otrzymujemy, że \(\displaystyle{ x_1 = 0}\), czyli k=1, a stąd q=3.
Ostatecznie drugim wyrazem podanego ciągu jest \(\displaystyle{ 3^{0} 3 = 3}\)