Mechanika bryły sztywnej

Zbiór wzorów, pojęć, definicji z zakresu fizyki.
Kamilekzmc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 298
Rejestracja: 6 paź 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 73 razy

Mechanika bryły sztywnej

Post autor: Kamilekzmc »

Bryłą sztywną nazywamy ciało, w którym odległość dwu dowolnie wybranych punktów nie ulega zmianie, mimo działających na to ciało sił.

1) Ruch obrotowy bryły sztywnej
Ruchem obrotowym bryły sztywnej nazywamy taki ruch, podczas którego wszystkie jej punkty (wyłączywszy oś obrotu) zataczają okręgi o środkach leżących na osi obrotu.
Podczas ruchu obrotowego każdy punkt bryły sztywnej porusza się z taką samą prędkością kątową. Jeżeli prędkość kątowa ruchu obrotowego nie jest stała, wyprowadza się pojęcia przyspieszenia kątowego \(\displaystyle{ \epsilon}\) bryły sztywnej (w dowolnej chwili jednakowy dla każdego punktu bryły).

Przyspieszenie kątowe
Przyspieszenie kątowe (średnie) jest równe stosunkowi przyrostu wektora prędkości kątowej do czasu, w którym ten przyrost nastąpił.

\(\displaystyle{ \epsilon= \frac{\Delta\omega}{\Delta t}}\)
Jednostką przyspieszenia kątowego jest \(\displaystyle{ \frac{rad}{r^{2}}}\)

Jeżeli przyspieszenie kątowe ma stałą wartość, wtedy nazywamy ruch obrotowy jednostajnie zmiennym. Dla ruchu obrotowego jednostajnie zmiennego można wyprowadzić równanie prędkości kątowej:
\(\displaystyle{ \omega=\omega_{0}+\epsilon t}\)
i równanie drogi kątowej:
\(\displaystyle{ \alpha=\omega_{0} t+ \frac{\epsilon t^{2}}{2}}\)

Moment bezwładności
Moment bezwładności bryły sumę momentów bezwładności punktów materialnych tej bryły względem osi obrotu, przy czym przez moment bezwładności punktu materialnego należy rozumieć iloczyn jesgo masy i kwadratu odległości od osi obrotu.
\(\displaystyle{ I=m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r^{2}_{2}+...+m_{n}r_{n}^{2}=\sum_{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2}}\)
Jednostką momentu bezwładności jest \(\displaystyle{ kg\cdot m^{2}}\)


Przykłady (\(\displaystyle{ I_{0}}\)):
-cienka pętla, rurka, pierścień, obręcz o promieniu r; oś obrotu prostopadła do powierzchni pętli: \(\displaystyle{ I=mr^{2}}\)
- pręt o długości l; oś prostopadła do pręta: \(\displaystyle{ I=\frac{1}{12}ml^{2}}\)
-walec pełny, krążek jednorodna tarcza o promieniu r; oś przechodząca przez oś symetrii: \(\displaystyle{ I= \frac{1}{2} mr^{2}}\)
- pełna, jednorodna kula o promieniu r: \(\displaystyle{ I= \frac{2}{5}mr^{2}}\)

Twierdzenie Steinera:
Moment bezwładności I ciała względem dowolnej osi równa się sumie Momentu bezwładności \(\displaystyle{ I_{0}}\) tego ciała względem osi równoległej po poprzedniej i przechodzącej przez środek masy ciała oraz iloczynu masy \(\displaystyle{ m}\) ciała i kwadratu odległości \(\displaystyle{ d}\)pomiędzy tymi osiami: \(\displaystyle{ I=I_{0}+md^{2}}\)

Moment siły
Momentem \(\displaystyle{ M}\) siły \(\displaystyle{ F}\) względem punktu O nazywamy iloczyn wektorowy ramienia siły (odległość od osi obrotu do kierunku działania siły) \(\displaystyle{ r}\) i wektora siły \(\displaystyle{ F}\).
\(\displaystyle{ M=r\times F}\), a wartość liczbowa \(\displaystyle{ M=rFsin\alpha}\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) to kąt po między wektorem \(\displaystyle{ r}\) i \(\displaystyle{ F}\).
Jednostką momentu siły jest \(\displaystyle{ N\cdot m}\)

Moment pędu
Wektor momentu pędu punktu materialnego definiuje się jako iloczyn wektorowy wektora \(\displaystyle{ r}\) (wektora wodzącego punktu) i \(\displaystyle{ p}\) (jego pędu):
\(\displaystyle{ L=r\times p}\)
Moment pędu obracającego się jednostajnie względem ustalonej osi ciała sztywnego (suma momentu pędu poszczególnych punktów) można obliczyć za pomocą wzoru:
\(\displaystyle{ L=I\omego}\)
Jednostką momentu pędu jest \(\displaystyle{ \frac{kg\cdot m^{2}}{s}}\)

Zasada zachowania momentu pędu
Jeżeli wypadkowy moment sił zewnętrznych działających na ciało jest równy zeru , wówczas jest moment pędu ma wartość stałą.

Energia kinetyczna ruchu obrotowego
Energię kinetyczna ciała sztywnego poruszającego się ruchem obrotowym można policzyć ze wzoru :
\(\displaystyle{ E_{k}= \frac{I\cdot \omega^{2}}{2}}\)

Prawa dynamiki ruchu obrotowego bryły sztywnej
Pierwsze prawo dynamiki dla ruchu obrotowego
Jeżeli na bryłę nie działa zewnętrzny moment siły lub suma momentów sił jest równa zeru, to bryła pozostaje w spoczynku lub porusza się ze stałą prędkością kątową.

Drugie prawo dynamiki dla ruchu obrotowego
Jeżeli na ciało sztywne działa niezrównoważony moment siły, to moment ten nadaje ciału przyspieszenie kątowe \(\displaystyle{ \epsilon}\), które jest proporcjonalne do wartości momentu siły i odwrotnie proporcjonalne do momentu bezwładności ciała.
\(\displaystyle{ \epsilon= \frac{M}{I}}\)

Podobieństwo do ruchu postępowego
droga \(\displaystyle{ s}\) --- droga kątowa \(\displaystyle{ \alpha}\)
prędkość linowa \(\displaystyle{ v}\) --- prędkość kątowa \(\displaystyle{ \omega}\)
masa \(\displaystyle{ m}\) --- moment bezwładności \(\displaystyle{ I}\)
pęd \(\displaystyle{ p}\) --- moment pędu \(\displaystyle{ L}\)
siła \(\displaystyle{ F}\) --- moment siły \(\displaystyle{ M}\)
II zasada dynamiki \(\displaystyle{ F= \frac{\Delta p}{\Delta t}}\) --- \(\displaystyle{ M= \frac{\Delta L}{\Delta t}}\)
energia kinetyczna \(\displaystyle{ \frac{mv^{2}}{2}}\) --- \(\displaystyle{ \frac{I\omega^{2}}{2}}\)
praca \(\displaystyle{ P=Fv_{sr}}\) --- \(\displaystyle{ P=M\omega_{sr}}\)
ODPOWIEDZ