Przekształcenie Lorentza

[Wasilewski]

1) Transformacja Lorentza

Zacznę od tego, że nie tak łatwo zapamiętać wzory na transformację Lorentza, ale jest na to pewien sposób; można ją zapisać tak:

\(\displaystyle{ \left( \begin{array}{c} x^{\prime} \\ ct^{\prime} \end{array} \right) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \left[ \begin{array}{cc} 1& -\frac{v}{c} \\ - \frac{v}{c} & 1 \end{array}\right] \left( \begin{array}{c} x \\ ct \end{array} \right).}\)

Przy tradycyjnej formie zapisu daje nam to równości:

\(\displaystyle{ x^{\prime} = \frac{x-vt}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \\ \\
t^{\prime} = \frac{t - \frac{xv}{c^2}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}.}\)

A transformacja odwrotna wygląda tak:

\(\displaystyle{ x = \frac{x^{\prime} + vt^{\prime}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \\ \\
t = \frac{t^{\prime} + \frac{x^{\prime}v}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.}\)

2) Prędkość względna

Teraz pokażę, jak obliczyć prędkość względną dwóch układów. Niech jeden układ porusza się z prędkością \(\displaystyle{ v_{1}}\) względem układu nieruchomego, a drugi z prędkością \(\displaystyle{ v_{3}}\). \(\displaystyle{ v_{2}}\) będzie prędkością układu drugiego względem układu pierwszego. Musi zatem zachodzić:

\(\displaystyle{ L(v_{1}) \circ L(v_{2}) = L(v_{3}),}\)

gdzie \(\displaystyle{ L(v)}\) to przekształcenie Lorentza. Otrzymujemy następujące równanie:

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v_{1}^2}{c^2}}}\cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v_{2}^2}{c^2}}} \left[\begin{array}{cc} 1 & -\frac{v_{1}}{c} \\ -\frac{v_{1}}{c} & 1 \end{array} \right]\left[\begin{array}{cc} 1 & -\frac{v_{2}}{c} \\ -\frac{v_{2}}{c} & 1 \end{array} \right] = \frac{1}{\sqrt{1- \frac{v_{3}^2}{c^2}}} \left[\begin{array}{cc} 1 & -\frac{v_{3}}{c} \\ -\frac{v_{3}}{c} & 1 \end{array} \right].}\)

Wymnożenie macierzy po lewej stronie równania pozostawiam czytelnikowi. Rozważę jedynie równość elementów macierzy znajdujących się pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie. Otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \frac{1 + \frac{v_{1} v_{2}}{c}}{\sqrt{1-\frac{v_{1}^2}{c^2}} \sqrt{1- \frac{v_{2}^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1- \frac{v_{3}^2}{c^2}}}.}\)

Odwracamy ułamki, podnosimy obustronnie do kwadratu, mnożymy przez \(\displaystyle{ (-1)}\), dodajemy do obu stron jedynkę, mnożymy przez \(\displaystyle{ c^2}\), pierwiastkujemy i otrzymujemy

\(\displaystyle{ v_{3} = \frac{v_{1} + v_{2}}{1 + \frac{v_{1} v_{2}}{c^2}}.}\)

A stąd już prosto wynika, że

\(\displaystyle{ v_{2} = \frac{v_{3} - v_{1}}{1 - \frac{v_{1}v_{3}}{c^2}}.}\)

3) Skrócenie Lorentza

Obliczmy odległość między zdarzeniami jednoczesnymi w układzie primowanym. W tym celu skorzystamy z transformacji odwrotnej (bo tak jest wygodniej). Żeby zdarzenia był jednoczesne, to musi być:

\(\displaystyle{ t_{1}^{\prime} = t_{2}^{\prime} = t^{\prime}.}\)

Zapiszmy więc transformację:

\(\displaystyle{ x_{1} = \frac{x_{1}^{\prime} + vt^{\prime}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \\
x_{2} = \frac{x_{2}^{\prime} + vt^{\prime}}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}.}\)

Odejmijmy stronami pierwsze równanie od drugiego:

\(\displaystyle{ x_{2} - x_{1} = \frac{x_{2}^{\prime} - x_{1}^{\prime}}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}} \\
\Delta x \cdot \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}} = \Delta x^{\prime}.}\)
Zatem mamy:

\(\displaystyle{ \Delta x^{\prime} < \Delta x,}\)

czyli właśnie skrócenie Lorentza. Proszę zauważyć, że gdybyśmy rozważali zdarzenia jednoczesne w drugim układzie współrzędnych dostalibyśmy wynik dokładnie odwrotny, zatem dla obserwatora nieruchomego mielibyśmy wartość krótszą.

4) Dylatacja czasu

Nadszedł czas na dylatację czasu. Rozważmy dwa zdarzenia w tym samym miejscu w układzie primowanym, czyli:

\(\displaystyle{ x_{1}^{\prime} = x_{2}^{\prime} = x^{\prime}.}\)

Możemy napisać transformację odwrotną dla obu zdarzeń:

\(\displaystyle{ t_{1} = \frac{t_{1}^{\prime} + \frac{x^{\prime}v}{c^2}}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}, \\ \\
t_{2} = \frac{t_{2}^{\prime} + \frac{x^{\prime}v}{c^2}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \\ \\
\Delta t = \frac{\Delta t^{\prime}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}.}\)

Stąd już wynika prosty wniosek, że

\(\displaystyle{ \Delta t^{\prime} < \Delta t.}\)

Zatem czas w układzie primowanym płynie wolniej.