Kształt wirującej wody

[Wasilewski]

Bardzo często nauczyciele fizyki w szkole średniej wspominają o tym, że woda wirująca w naczyniu w przekroju ma kształt paraboli. Nigdy (a przynajmniej w większości przypadków) jednak nie podają dowodu tego faktu. A to dlatego, że w szkołach nie naucza się rachunku różniczkowego, dzięki któremu łatwo ten fakt uzasadnić. Zatem zapraszam zainteresowanych do czytania.

Rozważmy punkt na brzegu wody (czyli w miejscu styku z powietrzem). Rozważmy jego ruch w układzie nieinercjalnym związanym z tymże punktem. W tym układzie punkt się nie porusza, zatem z pewnością siły nań działające się równoważą. A jakie mamy siły w tym układzie? Oczywiście siłę grawitacji, siłę odśrodkową bezwładności i siłę reakcji powierzchni wody, skierowaną do tej powierzchni prostopadle. Zatem warunkiem koniecznym zerowania się siły wypadkowej jest to, by suma wektorowa siły grawitacji i siły odśrodkowej również byłą prostopadła do owej powierzchni. Dostajemy więc warunek:
\(\displaystyle{ \frac{m\omega^2 r}{mg} = \tg\varphi,}\)
gdzie \(\displaystyle{ \omega}\) - prędkość kątowa, \(\displaystyle{ \varphi}\) - kąt nachylenia powierzchni wody względem poziomu, \(\displaystyle{ r}\) - odległość punktu od osi obrotu w rozważanym przekroju.

Wiemy, że tangens kąta nachylenia to nic innego jak pochodna funkcji, otrzymujemy zatem:
\(\displaystyle{ \frac{\omega^2 r}{g} = \frac{\mbox{d}z}{\mbox{d}r}.}\)

Dostajemy równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych. Możemy ustalić, że punkt styku wody z powietrzem leżący na osi obrotu ma współrzędną y-ową równą \(\displaystyle{ h_0}\). Zatem rozwiązanie równania prezentuje się tak:
\(\displaystyle{ \frac{\omega^2}{g} \int_{0}^{r} x \mbox{d}x = \int_{h_0}^{z} \mbox{d}y \\
z = \frac{\omega^2}{2g} r^2 + h_0}\)

Zatem istotnie jest to parabola. Ze względu na symetrię łatwo uogólnić kształt przekroju na kształt powierzchni - będzie to paraboloida obrotowa.
Równanie tej powierzchni wygląda tak:
\(\displaystyle{ z = \frac{\omega^2}{2g} (x^2 + y^2) + h_0}\)


Uwagi proszę zgłaszać na PW.

[steal]

Przedstawię bardziej zaawansowane rozwiązanie tego problemu z wyznaczeniem

• 1. rozkładu ciśnienia
  2. równania powierzchni swobodnej (lustra wody)
  3. wysokości lustra wody w osi naczynia znając początkową objętość wody w naczyniu

Odpowiedzi na powyższe zagadnienia otrzymamy rozwiązując równania Eulera, tzn. równania ruchu cieczy nielepkiej (lepkość kinematyczna \(\displaystyle{ \nu=0}\), więc brak naprężeń stycznych).

Dygresja dot. przyjętego założenia o nielepkości cieczy:    

Tutaj należy nadmienić, że brak lepkości powoduje pewien paradoks -rozpoczynając obracanie naczynia ze stanu w którym ciecz i naczynie pozostaje w bezruchu, poruszające się ścianki naczynia nie są w stanie przekazać swojego ruchu płynowi, bowiem na samym początku przyjęliśmy brak naprężeń stycznych, a to one są odpowiedzialne za wymianę pędu między sąsiadującymi warstwami płynu. Jeżeli czytelnik ma problem z uchwyceniem istoty tego problemu, może w prosty sposób sprawdzić jak ta sytuacja wygląda w rzeczywistości (oczywiście w sposób przybliżony, bo w naprężenia styczne występują zawsze), wystarczy bowiem napełnioną wodą szklankę powoli okręcać wokół swojej osi - zauważymy prawie brak ruchu wody przy jednoczesnym przemieszczaniu się ścianek, woda do pewnego stopnia zachowuje swoje początkowe położenie i nie wiruje. Czy ma to jakiś wpływ na poniższe rozwiązanie? Nie, ponieważ zajmiemy się analizą w momencie, gdy ruch zarówno naczynia jak i wody jest ustalony, tj. nie zmienia się w czasie. Jeżeli więc prędkość kątowa ścianek naczynia oraz wody pozostaje stała, to naprężenia styczne są zerowe - takie jakie założyliśmy przyjmując równanie Eulera do opisu zagadnienia.

Wychodzimy od równań Eulera w postaci wektorowej: \(\displaystyle{ \frac{D\vec{v}}{Dt}=\vec{F}-\frac{1}{\rho}\nabla p}\)

Interpretacja pochodnej substancjalnej:    

W tym momencie pozwolę sobie na krótką dygresję czym jest zapis \(\displaystyle{ \frac{D\vec{v}}{Dt}}\) i jak go interpretować. Otóż zapis z dużym \(\displaystyle{ D}\) oznacza, że mamy do czynienia z pochodną substancjalną. Czym jest ta pochodna? Jest sumą dwóch innych pochodnych: pochodnej lokalnej oraz pochodnej konwekcyjnej/unoszenia ujętej w nawiasy okrągłe; dla składowej prędkości \(\displaystyle{ u}\) zapiszemy ją jako:

\(\displaystyle{ \frac{Du}{Dt} = \frac{\partial u}{\partial t} +\left( u\frac{\partial u}{\partial x} +v\frac{\partial u}{\partial y} + w\frac{\partial u}{\partial z}\right)}\)

Skąd wynika taka postać? Otóż związane jest to z wyborem sposobu opisu ruchu płynu. Na początku rozwoju hydrodynamiki zostały zaproponowane dwa podejścia: wędrowna (Lagrange'a) oraz analiza lokalna (Eulera). Pierwsza z nich skupia się na analizie ruchu wybranej porcji płynu, przez cały czas składającej się z tych samych molekuł płynu, natomiast druga na analizie pewnego nieruchomego wycinka objętości (płaszczyzny w wersji dwuwymiarowej), przez którą przepływają coraz to inne molekuły. Jeżeli skupimy się na danym punkcie \(\displaystyle{ A}\) wewnątrz tej objętości (nazywanej objętością kontrolną) to składowa prędkości \(\displaystyle{ u}\) będzie różna dla kolejnych chwil czasu (pochodna lokalna). W innym punkcie \(\displaystyle{ B}\) będzie zachodziła ta sama zależność, ale dodatkowo należy uwzględnić wpływ przeniesienia naszych rozważań w inne miejsce przestrzeni, do punktu \(\displaystyle{ B}\) (pochodna unoszenia).
Szersze, bardzo dobre wyjaśnienie tego zagadnienia jest opisane w pozycji 2. literatury znajdującej się na końcu tego artykułu.

Zgodnie z tym co napisał Wasilewski, przyjmiemy układ współrzędnych walcowych, gdzie wyróżniamy dwa kierunki:

• \(\displaystyle{ r}\) - wzdłuż promienia naczynia; składowa prędkości \(\displaystyle{ u}\)
  \(\displaystyle{ z}\) - wzdłuż osi naczynia; składowa prędkości \(\displaystyle{ w}\)

Zapiszmy równania Eulera oddzielnie dla każdego kierunku:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{Dw}{Dt}=-g-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} \\ \frac{Du}{Dt}= \omega^2r-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial r} \end{cases}}\)

Interesuje nas przypadek, gdy naczynie osiągnęło docelową prędkość kątową, wtedy płyn nie porusza się względem niego: \(\displaystyle{ u=w=0}\). Pochodne substancjalne się zerują i otrzymujemy następujące zależności

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial z} = -\rho g \\ \frac{\partial p}{\partial r} = \rho\omega^2r \end{cases}}\)

Wyznaczenie rozkładu ciśnienia

Powyższe pochodne cząstkowe wykorzystamy w różniczce ciśnienia. Ciśnienie jest funkcją zarówno współrzędnej \(\displaystyle{ r}\) jak i \(\displaystyle{ z}\), stąd na podstawie reguły łańcuchowej dla funkcji wielu zmiennych jego różniczka ma postać:

\(\displaystyle{ dp = \frac{\partial p}{\partial r}\,dr+\frac{\partial p}{\partial z}\,dz \quad\iff\quad dp = \rho\omega^2r\,dr-g\rho\,dz}\)

Scałkujmy obustronnie

\(\displaystyle{ \int dp = \int\rho\omega^2r\,dr-\int g\rho\,dz}\)

Otrzymamy zależność na ciśnienie \(\displaystyle{ p=p(r,z)}\)

\(\displaystyle{ p(r,z) = \frac{1}{2}\rho\omega^2r^2-\rho gz+C}\)

Wynik całkowania jest niejednoznaczny, bowiem stała \(\displaystyle{ C}\) może przybrać dowolną wartość rzeczywistą. Potrzebujemy warunku brzegowego, podobnie jak u Wasilewskiego przyjmiemy, że lustro wody przecina oś obrotu na wysokości \(\displaystyle{ h_0}\) i ma wartość ciśnienia atmosferycznego \(\displaystyle{ p_{atm}}\):

\(\displaystyle{ p(0,h_0) = p_{atm} \quad\iff\quad \frac{1}{2}\rho\omega^20^2-\rho gh_0 + C = p_{atm} \quad\iff\quad C = p_{atm} + \rho gh_0}\)

Wzór na rozkład ciśnienia w naczyniu wirującym z prędkością kątową \(\displaystyle{ \omega}\)

\(\displaystyle{ p(r,z) = p_{atm} + \frac{1}{2}\rho\omega^2r^2 -\rho g(z -h_0)}\)

Wyznaczenie równania powierzchni swobodnej

Równanie powierzchni swobodnej otrzymamy wykorzystując fakt, że ciśnienie na niej równa się ciśnieniu atmosferycznemu \(\displaystyle{ p(r,z) = p_{atm}}\)

\(\displaystyle{ p_{atm} = p_{atm} + \frac{1}{2}\rho\omega^2r^2 -\rho g(z -h_0) \quad\iff\quad z = \frac{\omega^2}{2g}r^2 + h_0}\)

Wyznaczenie wysokości lustra wody w osi naczynia

Oznaczamy wysokość cieczy w naczyniu przed rozpoczęciem ruchu obrotowego jako \(\displaystyle{ H}\), natomiast promień podstawy walca jako \(\displaystyle{ R}\).
Objętość cieczy w naczyniu równa się \(\displaystyle{ V_0=\pi R^2H}\)
Jeżeli płyn nie wyleje się podczas rozkręcania naczynia do prędkości obrotowej \(\displaystyle{ \omega}\), to objętość pozostaje identyczna jak w chwili początkowej. Znamy również kształt powierzchni swobodnej w ruchu obrotowym naczynia, stąd możemy przy wykorzystaniu całkowania wyznaczyć niewiadomą wysokość \(\displaystyle{ h_0}\).
Całkować będziemy po elementarnych wycinkach walcowych o grubości \(\displaystyle{ dr}\), ich objętość \(\displaystyle{ dV = 2\pi rz(r)dr}\)

\(\displaystyle{ V = 2\pi\int_0^Rz(r)rdr = 2\pi\int_0^R\left(\frac{\omega^2}{2g}r^3 + h_0r\right)dr = \pi h_0R^2+\frac{\pi}{4}\frac{\omega^2}{g}R^4}\)

Porównujemy wynik z objętością początkową:

\(\displaystyle{ V_0 = V \quad\iff\quad \pi R^2H = \pi h_0R^2+\frac{\pi}{4}\frac{\omega^2}{g}R^4 \quad\iff\quad h_0 = H - \frac{\omega^2}{4g}R^2}\)

Wstawiając otrzymaną wysokość do wzoru na ciśnienie i powierzchnię swobodną otrzymujemy ostatecznie:


Rozkład ciśnienia w naczyniu walcowym wirującym z prędkością kątową \(\displaystyle{ \omega}\), o promieniu podstawy \(\displaystyle{ R}\) i wysokości początkowej cieczy \(\displaystyle{ H}\)

\(\displaystyle{ p(r,z) = p_{atm} + \frac{1}{4}\rho\omega^2\left(2r^2-R^2\right) + \rho g(H-z)}\)


Równanie powierzchni swobodnej cieczy

\(\displaystyle{ z(r) = H + \frac{\omega^2}{4g}\left(2r^2-R^2\right)}\)



Uwaga: Prędkość kątowa \(\displaystyle{ \omega}\) musi być odpowiednio dobrana do wysokości naczynia \(\displaystyle{ L}\), w przeciwnym przypadku podczas obracania ciecz wypłynie. Aby sprawdzić ten warunek wystarczy obliczyć położenie powierzchni swobodnej na ściance, tzn. musi być spełniona nierówność \(\displaystyle{ z(R) < L}\).


Sugerowana literatura

• 1. Wyprowadzenie równania Eulera - N. S. Arżanikow, W. N. Malcew, Aerodynamika, PWN, Warszawa 1959, s. 90-94
  2. Wyjaśnienie pochodnej substancjalnej - J. D. Anderson, Fundamentals of aerodynamics, Mcgraw Hill, 2001, s. 134