Przyspieszenie radialne i transwersalne

[Wasilewski]

Przejście do układu biegunowego często pomaga w rozwiązaniu zadań z mechaniki, poza tym zdaje się, że to wyprowadzenie to element obowiązkowy na studiach fizycznych, zatem mogłoby się ono znaleźć w kompendium, dla wszystkich poszukujących owego wyprowadzenia.

W układzie kartezjańskim mamy związane z osiami wersory \(\displaystyle{ \vec{e_x}}\) i \(\displaystyle{ \vec{e_y}}\). Analogiczne wersory w układzie biegunowym powstają przez obrót tychże wersorów o kąt \(\displaystyle{ \varphi}\). Stąd wynika równość

\(\displaystyle{ \vec{e_{r}} = \vec{e_{x}} cos\varphi + \vec{e_{y}} sin\varphi, \\ \\
\vec{e_{\varphi}} = -\vec{e_{x}} sin\varphi + \vec{e_{y}} cos\varphi.}\)

Policzmy pochodne po czasie tych wersorów:

\(\displaystyle{ \dot{\vec{e_r}} = -\vec{e_x} sin\varphi \cdot \dot{\varphi} + \vec{e_{y}} cos\varphi \cdot \dot{\varphi} = \dot{\varphi} \vec{e_{\varphi}}, \\ \\
\dot{\vec{e_{\varphi}}} = -\vec{e_x} cos\varphi \cdot \dot{\varphi} - \vec{e_y} sin\varphi \cdot \dot{\varphi} = -\dot{\varphi} \vec{e_r}.}\)

Wektor położenia ciała możemy zapisać jako

\(\displaystyle{ \vec{r} = r \vec{e_r}.}\)

Najpierw policzmy prędkość:

\(\displaystyle{ \dot{\vec{r}} = \dot{r} \vec{e_r} + r \dot{\vec{e_r}} = \dot{r} \vec{e_{r}} + r \dot{\varphi} \vec{e_{\varphi}}.}\)

Teraz przyspieszenie:

\(\displaystyle{ \ddot{\vec{r}} = \ddot{r} \vec{e_r} + \dot{r} \dot{\vec{e_r}} + \dot{r} \dot{\varphi} \vec{e_{\varphi}} + r \ddot{\varphi} \vec{e_\varphi} + r \dot{\varphi} \dot{\vec{e_{\varphi}}} = \ddot{r} \vec{e_r} + \dot{r} \dot{\varphi} \vec{e_{\varphi}} + \dot{r} \dot{\varphi} \vec{e_{\varphi}} + r \ddot{\varphi} \vec{e_\varphi} - r \dot{\varphi}^2 \vec{e_r} = \\ \\ \left(\ddot{r} - r \dot{\varphi}^2\right) \vec{e_{r}} + \left(2\dot{r} \dot{\varphi} + r\ddot{\varphi}\right) \vec{e_{\varphi}}.}\)

Czyli ostatecznie:

\(\displaystyle{ \ddot{\vec{r}} = [\ddot{r} - r \dot{\varphi}^2, 2\dot{r} \dot{\varphi} + r\ddot{\varphi}].}\)

W szczególności gdy \(\displaystyle{ r=const}\), to przyspieszenie normalne przyjmuje znaną nam postać z ruchu po okręgu.

Wyprowadzenie można przeprowadzić też w inny sposób, mianowicie na płaszczyźnie zespolonej. Wtedy wersorowi \(\displaystyle{ \vec{e_{r}}}\) odpowiada liczba zespolona \(\displaystyle{ e^{i\varphi}}\), a jako że pomnożenie przez jednostkę urojoną jest równoważne obrotowi o kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\), to drugi z wersorów możemy utożsamić z \(\displaystyle{ i e^{i\varphi}}\).
I tu jest o wiele przyjemniej, bo eksponens różniczkuje się bardzo łatwo; mamy wektor wodzący postaci \(\displaystyle{ re^{i\varphi}}\) i po dwukrotnym zróżniczkowaniu grupujemy wyrazy przy \(\displaystyle{ e^{i\varphi}}\) oraz przy \(\displaystyle{ ie^{i\varphi}}\).