Równanie fali elektromagnetycznej

Zbiór wzorów, pojęć, definicji z zakresu fizyki.
Awatar użytkownika
Amon-Ra
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

Równanie fali elektromagnetycznej

Post autor: Amon-Ra »

Wyprowadzenie równania fali elektromagnetycznej jest zagadnieniem bardzo często poruszanym na zajęciach z fizyki czy elektrodynamiki. Warto zatem chociaż raz w życiu dokonać odpowiednich przekształceń, aby z tematem się zaznajomić i odkryć sens hipotezy falowej elektrodynamiki klasycznej.
Równania Maxwella w przypadku ogólnym (postać różniczkowa)
Wypiszmy równania Maxwella w postaci różniczkowej, obowiązujące w dowolnym ośrodku:

1. Prawo Faradya

\(\displaystyle{ \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}\)

2. Prawo Amp�re'a-Maxwella

\(\displaystyle{ \nabla \times \vec{H} = \vec{j} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}}\)

3. Prawo Gaussa dla elektryczności

\(\displaystyle{ \nabla \cdot \vec{D} = \rho}\)

4. Prawo Gaussa dla magnetyzmu

\(\displaystyle{ \nabla \cdot \vec{B} = 0}\)

Związki natężeń pól z indukcjami (równania materiałowe):

\(\displaystyle{ \vec{D} = \varepsilon_0 \varepsilon_r \vec{E} \\ \vec{B} = \mu_0 \mu_r \vec{H}}\)

Legenda oznaczeń

\(\displaystyle{ \vec{D}}\) - wektor indukcji elektrycznej
\(\displaystyle{ \vec{B}}\) - wektor indukcji magnetycznej
\(\displaystyle{ \vec{E}}\) - wektor natężenia pola elektrycznego (lub po prostu wektor pola elektrycznego)
\(\displaystyle{ \vec{H}}\) - wektor natężenia pola magnetycznego (lub po prostu wektor pola magnetycznego)
\(\displaystyle{ \vec{j}}\) - wektor gęstości prądu
\(\displaystyle{ \rho}\) - objętościowa gęstość ładunku elektrycznego
\(\displaystyle{ \mu_0, \, \varepsilon_0}\) - kolejno przenikalność magnetyczna próżni i przenikalność elektryczna próżni
\(\displaystyle{ \mu_r, \, \varepsilon_r}\) - kolejno przenikalność względna elektryczna i przenikalność względna magnetyczna, zależne od ośrodka
\(\displaystyle{ \nabla \times \, \cdot}\) - operator rotacji
\(\displaystyle{ \nabla \cdot}\) - operator dywergencji
\(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial t}}\) - cząstkowa pochodna po czasie

Uwaga - w ogólnym pzypadku przenikalności względne elektryczna i magnetyczna są tensorami drugiego rzędu, jednak w materiale izotropowym podziałanie tensorem na dowolny wektor równoznaczne jest z przemnożeniem tego wektora przez liczbę stojącą na każdym miejscu na diagonali tensora (zagadnienie własne!).
Wyprowadzenie
Założenia

Zakładamy, iż ośrodkiem, dla kórego analizę przeprowadzamy jest próżnia. Nie występują w niej ładunki (\(\displaystyle{ \rho = 0}\), \(\displaystyle{ \vec{j} = \vec{0}}\)), względne przenikalności równe są jedności (\(\displaystyle{ \varepsilon_r = 1}\), \(\displaystyle{ \mu_r = 1}\)). Przez wzgląd na to, równania Maxwella dla próżni wyglądają następująco:

1. Prawo Faradya

\(\displaystyle{ \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}\)

2. Prawo Amp�re'a-Maxwella

\(\displaystyle{ \nabla \times \vec{B} = \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}}\)

3. Prawo Gaussa dla elektryczności

\(\displaystyle{ \nabla \cdot \vec{E} =0}\)

4. Prawo Gaussa dla magnetyzmu

\(\displaystyle{ \nabla \cdot \vec{B} = 0}\)

Podziałajmy na pierwsze równanie obustronnie operatorem rotacji:

\(\displaystyle{ \nabla \times \left(\nabla \times \vec{E} \right) = -\nabla \times \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}\)

Zajmijmy się najpierw prawą stroną: zauważmy, iż operatory \(\displaystyle{ \nabla \times}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial t}}\) z racji tego, iż różniczkują po różnych zmiennych można składać w dowolnej kolejności; skoro tak, to postulujemy

\(\displaystyle{ - \nabla \times \frac{\partial\vec{B}}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial t}\left( \nabla \times \vec{B}\right)}\)

To jednakowoż z drugiego równania wynosi

\(\displaystyle{ -\frac{\partial}{\partial t}\left( \nabla \times \vec{B}\right) = -\frac{\partial}{\partial t}\left(\varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right)=-\varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial ^2 \vec{E}}{\partial t^2}}\)

Lewą stronę równania obliczymy, korzystając z tożsamości wektorowej (niech \(\displaystyle{ \vec{A}}\) będzie polem wektorowym odpowiedniej klasy):

\(\displaystyle{ \nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \right) = \nabla \cdot \left(\nabla \cdot \vec{A}\right) - \nabla^2 \vec{A}}\)

Tutaj \(\displaystyle{ \nabla^2 = \Delta}\) oznacza operator Laplace'a (laplasjan) spełniający w układzie kartezjańskim tożsamość:

\(\displaystyle{ \Delta = \nabla^2 = \frac{\partial ^2}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2}{\partial z^2}}\)

Otrzymujemy zatem:

\(\displaystyle{ \nabla \cdot \left(\nabla \cdot \vec{E}\right) - \nabla^2 \vec{E} = -\varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial ^2 \vec{E}}{\partial t^2}}\)

Z trzeciego z równań wnioskujemy \(\displaystyle{ \nabla \cdot \left(\nabla \cdot \vec{E}\right)=0}\):

\(\displaystyle{ - \nabla^2 \vec{E} = -\varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial ^2 \vec{E}}{\partial t^2}}\)

lub też:

\(\displaystyle{ \nabla^2 \vec{E} -\varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial ^2 \vec{E}}{\partial t^2}=\vec{0}}\)

Z analogii do równania falowego pojawiającego się w akustyce, wyrażenie stojące przy drugiej pochodnej po czasie można utożsamiać z odwrotnością kwadratu prędkości fazowej fali propagującej w ośrodku. Nazwijmy tę wielkość c:
\(\displaystyle{ \boxed{\nabla^2 \vec{E} -\frac{1}{c^2} \frac{\partial ^2 \vec{E}}{\partial t^2}=\vec{0}}}\)
Przy założeniu \(\displaystyle{ c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0 }}}\) otrzymujemy szukane równanie fali elektromagnetycznej, opisującej ewolucję wektora pola elektrycznego w czasie i przestrzeni.

Teraz należy zauważyć, iż gdyby podczas wyprowadzenia skupić się nie na wektorze pola elektrycznego, lecz magnetycznego, otrzymalibyśmy identyczną postać równania.

Zdefiniujmy nową wielkość, którą od nazwiska matematyka Jeana Le Rond d'Alemberta nazwano dalambercjanem:

\(\displaystyle{ \square = \nabla ^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2}{\partial t^2}}\)

Równanie fali elektromagnetycznej można zatem przedstawić w zwięzłej formie przy użyciu operatora d'Alemberta:
\(\displaystyle{ \boxed{\square \vec{E} = \vec{0}, \quad \square \vec{B} = \vec{0}}}\)
ODPOWIEDZ