Równania Maxwella

[Wasilewski]

Jako że równania Maxwella są niezwykle istotne, to warto, by znalazły się w kompendium. Zwykle zapisuje się je w dwóch postaciach.

I W postaci różniczkowej:

\(\displaystyle{ 1) \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\varrho}{\varepsilon}; \\
2) \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}; \\
3) \nabla \cdot \vec{B} = 0; \\
4) \nabla \times \vec{B} = \mu \vec{j} + \mu \varepsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}.}\)

II W postaci całkowej:

\(\displaystyle{ 1) \oint_{S} \vec{E} \cdot \mbox{d}\vec{S} = \frac{Q}{\varepsilon};\\
2) \oint_{l} \vec{E} \cdot \mbox{d}\vec{l} = - \frac{\partial \Phi_B}{\partial t}; \\
3) \oint_{S} \vec{B} \cdot \mbox{d}\vec{S} = 0; \\
4) \oint_{l} \vec{B} \cdot \mbox{d}\vec{l} = \mu I + \mu \varepsilon \frac{\partial \Phi_E}{\partial t}. }\)

Oznaczenia:

\(\displaystyle{ \varrho}\) - gęstość ładunku.
\(\displaystyle{ \varepsilon}\) - przenikalność dielektryczna.
\(\displaystyle{ \mu}\) - przenikalność magnetyczna.
\(\displaystyle{ \vec{j}}\) - gęstość prądu.
\(\displaystyle{ \Phi_B}\) - strumień indukcji magnetycznej.
\(\displaystyle{ \Phi_E}\) - strumień natężenia pola elektrycznego.

Wypadałoby też napisać, jak nazywają się poszczególne równania i jakie zjawiska opisują, zatem:
1) Prawo Gaussa dla elektryczności - źródłem pola elektrycznego są ładunki, a strumień tego pola przez dowolną powierzchnię zamkniętą zależy tylko od ładunku zamkniętego przez tę powierzchnię.

2) Prawo Faradaya - zmiana strumienia indukcji magnetycznej przez powierzchnię zamkniętej pętli powoduje powstanie w tej pętli siły elektromotorycznej indukcji (SEM), a kierunek płynącego prądu jest taki, żeby przeciwdziałać zmianom powodującym indukcję (reguła Lenza).

3) Prawo Gaussa dla magnetyzmu - nie istnieją ładunki magnetyczne, a strumień pola magnetycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równy 0.

4) Prawo Ampere'a - zmienne pole elektryczne i płynący prąd powodują powstanie pola magnetycznego.

Mamy zatem ładne równania, więc warto zastosować je w praktyce. Jako pierwszy przykład udowodnimy zasadę zachowania ładunku:

\(\displaystyle{ \frac{\partial \varrho}{\partial t} + \nabla\cdot \vec{j} = 0.}\)

To równanie oznacza, że przyrost gęstości ładunku jest kompensowany przez odpływ ładunku wraz z prądem. Weźmy prawo Ampere'a w postaci różniczkowej i obłóżmy obustronnie dywergencją:

\(\displaystyle{ \nabla\cdot (\nabla \times \vec{B}) = \mu \nabla\cdot \vec{j} + \mu \varepsilon \nabla\cdot \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}.}\)

Korzystając z tego, że dywergencja rotacji znika, a kolejność różniczkowania nie ma znaczenia, otrzymujemy:

\(\displaystyle{ 0 = \mu \nabla \cdot \vec{j} + \mu \varepsilon \frac{\partial}{\partial t} (\nabla\cdot \vec{E}).}\)

Ale z prawa Gaussa wiemy, że:

\(\displaystyle{ \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\varrho}{\varepsilon}.}\)

Po podzieleniu obustronnym przez \(\displaystyle{ \mu}\) otrzymujemy:

\(\displaystyle{ 0 = \nabla\cdot \vec{j} + \varepsilon \frac{\partial \frac{\varrho}{\varepsilon}}{\partial t} = \nabla\cdot \vec{j} + \frac{\partial \varrho}{\partial t}.}\)

Czyli to, co chcieliśmy otrzymać.

[Amon-Ra]

Jako, iż Wasilewski zapisał obie postaci - całkową i różniczkową - równań Maxwella, dobrze byłoby umieścić tutaj kilka informacji na temat związku jednej postaci z drugą.

Oznaczenia

\(\displaystyle{ S}\) - płat powierzchniowy w przestrzeni trójwymiarowej (zamknięty lub nie)

\(\displaystyle{ \partial S}\) - krzywa zamknięta, będąca brzegiem płata powierzchniowego S

\(\displaystyle{ V}\) - podprzestrzeń przestrzeni trójwymiarowej, całkowicie zawarta wewnątrz pewnej powierzchni zamkniętej

\(\displaystyle{ \partial V}\) - "brzeg" podprzestrzeni V, czyli powierzchnia zamknięta ograniczająca tę podprzestrzeń

Podczas transformacji między obiema postaciami równań Maxwella korzystamy z dwóch twierdzeń pomocniczych:

Twierdzenie 1. (Gaussa - Ostrogradskiego)

Niech \(\displaystyle{ \vec{A}: \mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3}\) - pole wektorowe, \(\displaystyle{ V\subset\mathbb{R}^3}\) - pewna podprzestrzeń, zaś \(\displaystyle{ \partial V}\) - gładka lub kawałkami gładka powierzchnia ograniczająca podprzestrzeń V. Jeżeli pole \(\displaystyle{ \vec{A}}\) jest klasy co najmniej \(\displaystyle{ \mathcal{C}^1}\) nad podprzestrzenią V, jak i na jej brzegu \(\displaystyle{ \partial V}\), to zachodzi

\(\displaystyle{ \iint_{\partial V}\vec{A}\cdot d\vec{S} = \iiint_{V}\left(\nabla \cdot \vec{A} \right) dV}\)

gdzie \(\displaystyle{ \nabla \cdot \vec{A}}\) oznacza dywergencję pola wektorowego \(\displaystyle{ \vec{A}}\).

Twierdzenie 2. (Stokesa)

Niech \(\displaystyle{ \vec{A}: \mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3}\) - pole wektorowe, S - pewien płat powierzchniowy zorientowany dodatnio, \(\displaystyle{ \partial S}\) - krzywa gładka lub kawałkami gładka, będąca brzegiem płata S i zgodna z nim co do orientacji. Jeżeli pole \(\displaystyle{ \vec{A}}\) jest klasy co najmniej \(\displaystyle{ \mathcal{C}^1}\) w pewnym obszarze \(\displaystyle{ G\subset\mathbb{R}^3}\) otaczającym powierzchnię S, to zachodzi

\(\displaystyle{ \oint_{\partial S}\vec{A}\cdot d\vec{k} = \iint_{S}\left(\nabla \times \vec{A} \right) d\vec{S}}\)

gdzie \(\displaystyle{ \nabla \times \vec{A}}\) oznacza rotację pola wektorowego \(\displaystyle{ \vec{A}}\).

Korzystając z obu powyższych twierdzeń, możemy dokonać stosownych transformacji.

Wyprowadzenie

1. Prawo Faradaya

\(\displaystyle{ \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}\)

Przemnóźmy obustronnie powyższe równanie skalarnie przez wektor infinitezymalnej powierzchni \(\displaystyle{ d\vec{S}}\):

\(\displaystyle{ \left(\nabla \times \vec{E}\right)d\vec{S} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}d\vec{S}}\)

Teraz powierzchnia \(\displaystyle{ dS=||d\vec{S}||}\) jest infinitezymalnie małym kawałkiem pewnego płata powierzchniowego S. Obustronnie całkując po tym płacie:

\(\displaystyle{ \iint_{S}\left(\nabla \times \vec{E}\right)d\vec{S} = -\iint_{S}\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}d\vec{S}}\)

Operatory całkowania i różniczkowania po różnych zmiennych można składać w dowolnej kolejności, zatem:

\(\displaystyle{ \iint_{S}\left(\nabla \times \vec{E}\right)d\vec{S} = -\frac{\partial}{\partial t}\iint_{S}\vec{B}d\vec{S}}\)

Prawa strona równania to całkowity strumień pola wektorowego \(\displaystyle{ \vec{B}:\mathbb{R}^3\longrightarrow \mathbb{R}^3}\) indukcji magnetycznej po powierzchni - oznaczmy go przez \(\displaystyle{ \Phi_B}\).
Załóżmy, iż spełnione są wszystkie założenia twierdzenia Stokesa. Lewa strona równania, na mocy tego twierdzenia równa będzie całce krzywoliniowej pola elektrycznego po brzegu powierzchni S, stąd otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \boxed{\oint_{\partial S}\vec{E}\cdot d\vec{k} = -\frac{\partial \Phi_B}{\partial t}}}\)

2. Prawo Amp�re'a-Maxwella

\(\displaystyle{ \nabla \times \vec{H} = \vec{j} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}}\)

Postępujemy analogicznie, jak poprzednio - mnożymy obustronnie przez pewien infinitezymalny wektor powierzchniowy, następnie całkujemy. Z twierdzenie Stokesa wnioskujemy o postaci lewej strony równania, co prowadzi do tożsamości następującej:

\(\displaystyle{ \oint_{\partial S} \vec{H}\cdot d\vec{k} = \iint_{S}\vec{j} d\vec{S} + \frac{\partial}{\partial t} \iint_{S}\vec{D}d\vec{S}}\)

Wektor gęstości prądu charakteryzuje przepływ ładunków w danym miejscu w przestrzeni; obliczając strumień tego wektora przez powierzchnię

\(\displaystyle{ I=\iint_{S}\vec{j}d\vec{S}}\)

otrzymamy tak naprawdę całkowity prąd przepływający przez powierzchnię S:

Wielkość \(\displaystyle{ \iint_{S}\vec{D}d\vec{S}}\) nazywana jest strumieniem indukcji elektrycznej \(\displaystyle{ \Phi_D}\) przez powierzchnię S. Jej pochodna czaowa, jak ówcześnie sądzono, musi mieć sens prądu elektrycznego, aby można było dodać do siebie oba wyrażenia po prawej stronie powyższego równania. Prąd ten nazwano prądem przesunięcia \(\displaystyle{ I_p}\). Należy jednak pamiętać, iż sens fizyczny prądu przesunięcia jest inny, niż prądu rzeczywistego, związanego z ruchem ładunków - pojawienie się rotującego pola magnetycznego jest wywołane zarówno przez ruch ładunków w przestrzeni, jak i przez zmiany zewnętrznego pola elektrycznego bez wskazania jego pochodzenia.
Na bazie twierdzenia Stokesa zatem możemy zapisać:

\(\displaystyle{ \oint_{\partial S}\vec{H}\cdot d\vec{k} = I + \frac{\partial \Phi_D}{\partial t} = I + I_p}\)

3. Prawo Gaussa dla elektryczności

\(\displaystyle{ \nabla \cdot \vec{D} = \rho}\)

Przemnóźmy obustronnie powyższe równanie przez elementarną objętość dV:

\(\displaystyle{ \left(\nabla \cdot \vec{D}\right)dV = \rho dV}\)

Z definicji gęstości objętościowej ładunku: \(\displaystyle{ \rho = \frac{dQ}{dV} \Rightarrow \rho dV = dQ}\). Obustronnie całkując po podprzestrzeni V:

\(\displaystyle{ \iiint_{V}\left(\nabla \cdot \vec{D}\right)dV = \iiint_{V}\rho dV = Q}\)

Załóżmy, iż spełnione są wszystkie założenia twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego; na mocy tego twierdzenia możemy zapisać:

\(\displaystyle{ \iint_{\partial V}\vec{D}\cdot d\vec{S} = Q}\)

Lub analogicznie:

\(\displaystyle{ \boxed{\iint_{\partial V}\vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{Q}{\varepsilon}}}\)

4. Prawo Gaussa dla magnetyzmu

\(\displaystyle{ \nabla \cdot \vec{B} = 0}\)

Podobnie, jak wyżej - mnożymy obustronnie przez infinitezymalnie małą objętość dV, korzystamy z prawa Gaussa Ostrogradskiego, aby otrzymać związek:

\(\displaystyle{ \boxed{\iint_{\partial V}\vec{B}\cdot d\vec{S} = 0}}\)

[Wasilewski]

No to jak już nam tak dobrze idzie, to udowodnimy jeszcze taki związek:

\(\displaystyle{ \frac{\partial W}{\partial t} + \nabla \circ \vec{P} + \vec{j} \circ \vec{E} = 0,}\)
gdzie:

\(\displaystyle{ W = \frac{1}{2} \varepsilon E^2 + \frac{1}{2\mu} B^2}\) - gęstość energii pola elektromagnetycznego.
\(\displaystyle{ \vec{P} = \frac{1}{\mu} \vec{E} \times \vec{B}}\) - wektor Poyntinga, którego wartość możemy utożsamić ze strumieniem energii przenoszonej przez falę elektromagnetyczną.

Najpierw skorzystamy z tego, że:

\(\displaystyle{ \nabla \circ (\vec{E} \times \vec{B}) = (\nabla \times \vec{E}) \circ \vec{B} - (\nabla \times \vec{B}) \circ \vec{E}, \\ \\
\mu \frac{\partial W}{\partial t} + (\nabla \times \vec{E}) \circ \vec{B} - (\nabla \times \vec{B}) \circ \vec{E} + \mu \vec{j} \circ \vec{E} = 0.}\)

Skorzystajmy z prawa Ampere'a:

\(\displaystyle{ (\nabla \times \vec{B})\circ \vec{E} = \mu \vec{j} \circ \vec{E} + \mu \varepsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \circ \vec{E}, \\ \\
\mu \frac{\partial W}{\partial t} = \mu \varepsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\circ \vec{E} + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \circ \vec{B}.}\)

Wstawmy:

\(\displaystyle{ \mu \varepsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\circ \vec{E} + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \circ \vec{B} + (\nabla \times \vec{E}) \circ \vec{B} - (\nabla \times \vec{B}) \circ \vec{E} + (\nabla \times \vec{B})\circ E - \mu \varepsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \circ \vec{E} = \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \circ \vec{B} + (\nabla \times \vec{E}) \circ \vec{B}.}\)

Z prawa Faradaya wynika zależność

\(\displaystyle{ \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}.}\)

Otrzymujemy zatem:

\(\displaystyle{ \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \circ \vec{B} - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \circ \vec{B} = 0.}\)

Czyli to, co chcieliśmy.