Rozpad promieniotwórczy - wyprowadzenie wzorów

Zbiór wzorów, pojęć, definicji z zakresu fizyki.
Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Rozpad promieniotwórczy - wyprowadzenie wzorów

Post autor: Wasilewski »

Piszę to kompendium, gdyż uważam, że warto wiedzieć skąd pochodzą wzory, z których korzystamy. Najpierw zajmę się prawem rozpadu.

1) Prawo rozpadu.
Załóżmy, że mamy na początku próbkę, liczącą \(\displaystyle{ N_0}\) jąder atomów. Oznaczmy przez \(\displaystyle{ \lambda}\) prawdopodobieństwo, że dane jądro rozpadnie się w ciągu najbliższej sekundy. Stała ta mówi nam więc o względnej zmianie ilości jąder w jednostce czasu. Jeśli tę wartość pomnożymy przez krótki czas \(\displaystyle{ \mbox{d}t}\), to dowiemy się jaka jest względna zmiana ilości jąder w tym czasie; musimy jednak wziąć tę wartość ze znakiem minus, jako że ilość jąder maleje. Z drugiej strony względną zmianę ilości jąder można też przedstawić klasycznie jako zmianę ilości jąder podzieloną przez aktualną liczbę jąder. Dostajemy zatem równanie:
\(\displaystyle{ -\lambda \ \mbox{d}t = \frac{\mbox{d}N}{N}.}\)
Zmienne są już rozdzielone, zatem przystępujemy do całkowania:
\(\displaystyle{ -\lambda \int_{0}^{t} \mbox{d}t = \int_{N_{0}}^{N} \frac{\mbox{d}N}{N} \\
-\lambda \ t = ln \left(\frac{N}{N_0} \right) \\
e^{-\lambda t} = \frac{N}{N_0} \\ \\
N(t) = N_0 \ e^{-\lambda t}.}\)


Zatem w dość prosty sposób otrzymaliśmy znane równanie.

2) Okres połowicznego zaniku.
Jest to czas, po którym w próbce zostaje połowa początkowej ilości jąder. Do otrzymanego równania wstawiamy zatem:
\(\displaystyle{ N = \frac{1}{2} N_0, \\
\frac{1}{2} N_0 = N_0 e^{-\lambda t} \ \ |\cdot \frac{1}{N_0}.}\)


Logarytmujemy obie strony logarytmem naturalnym:
\(\displaystyle{ ln \left(\frac{1}{2} \right) = -\lambda T_{\frac{1}{2}} \\
ln(2^{-1}) = -\lambda T_{\frac{1}{2}} \\
-ln(2) = -\lambda T_{\frac{1}{2}} \\ \\
T_{\frac{1}{2}} = \frac{ln(2)}{\lambda}.}\)


Z tego równania wyciągnijmy \(\displaystyle{ \lambda}\) i wstawmy do równania rozpadu:
\(\displaystyle{ N(t) = N_0 e^{-\frac{ln(2)}{T_{\frac{1}{2}}} t} \\
N(t) = N_0\cdot 2^{-\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}} \\ \\
N(t) = N_0\cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}.}\)


Otrzymujemy zatem równanie o wiele bardziej przydatne do obliczeń.

W zadaniach bardzo często dane jest, że liczba jąder zmalała 32-krotnie, 16-krotnie, czyli ogólnie \(\displaystyle{ 2^{n}}\)-krotnie. Dla takiej sytuacji można bardzo łatwo policzyć po jakim czasie się to stanie. Wstawiamy liczbę jąder do uproszczonego równania:
\(\displaystyle{ N_0 (\frac{1}{2})^n = N_0 \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}} \ \ |\cdot \frac{1}{N_0}.}\)
Logarytmujemy stronami logarytmem dwójkowym:
\(\displaystyle{ -n = -\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}} \\
t = n \cdot T_{\frac{1}{2}}.}\)


Wzór ten znacznie skraca robienie tego typu zadań.

3) Średni czas życia danego pierwiastka promieniotwórczego. *
Jeżeli w chwili t=0 jest \(\displaystyle{ N_0}\) atomów to w chwili t+dt rozpadowi uległo \(\displaystyle{ -dN \omega= \lambda Ndt}\) atomów.

Wszystkie atomy tej grupy żyły tak samo długo, ich czas życia wynosi t. Wśród wybranych w chwili początkowej atomów znajdują się grupy atomów, które powinny przeżyć różne okresy czasu od wspólnego momentu początkowego dla różnego dla tych atomów, momentu rozpadu. (Zupełnie jak ludzie:))

Aby obliczyć średni czas życia należy pomnożyć czas życia każdej grupy atomów przez liczbę atomów w grupie, dodać otrzymane dla różnych grup atomów wyniki i podzielić otrzymaną wartość przez sumę wszystkich atomów w grupach. Dodajemy dużą liczbę składników więc będziemy całkować.

\(\displaystyle{ \overline{t}= \frac{ \int \limits^{ \infty}_{0}t \lambda Ndt}{ \int \limits^{ \infty}_{0} \lambda Ndt}}\)
Teraz możemy skorzystać z prawa rozpadu, które wyprowadził Wasilewski.

Całka z mianownika: \(\displaystyle{ \int \limits^{ \infty}_{0} \lambda N_0e^{- \lambda t}dt=- \lambda N_0 \left[ \frac{e^{- \lambda t}}{ \lambda} \right]^{ \infty}_{0}=N_0}\)

Całka z licznika:
\(\displaystyle{ \int \limits^{ \infty}_{0}t \lambda N_0e^{- \lambda t}dt \left| \begin{array}{cc}f=t & dg=e^{- \lambda t}dt \ \ df=dt & g=- \frac{1}{ \lambda}e^{- \lambda t} \end{array} \right|= \lambda N_0 \left[- \frac{1}{ \lambda} \cdot te^{- \lambda t}+ \int \frac{1}{ \lambda}e^{- \lambda t}dt \right]^{ \infty}_{0}= \ \ \lambda N_0 \left[- \frac{1}{ \lambda} \cdot te^{- \lambda t}- \frac{1}{ \lambda^2}e^{- \lambda t} \right]^{ \infty}_{0}= \frac{N_0}{ \lambda}}\)

Dlatego
\(\displaystyle{ \overline{t}= \frac{N_0}{ \lambda N_0}= \frac{1}{ \lambda} \Rightarrow \lambda= \frac{1}{ \overline{t}}}\)

I znów korzystając z prawa rozpadu mamy, że
\(\displaystyle{ \Large N(t)=N_0 \exp \left(- \frac{t}{ \overline{t}} \right)}\)

Ponadto Wasilewski napisał, że \(\displaystyle{ \lambda= \frac{ \ln 2}{T_{ \frac{1}{2}}}}\)
Czyli \(\displaystyle{ \overline{t}= \frac{T_{ \frac{1}{2}}}{ \ln 2} \approx 1,45T_{ \frac{1}{2}}}\)

Dwa ostatnie wzory są pomocne gdy mamy podany średni czas życia atomów i kiedy szybko chcemy znaleźć czas połowicznego zaniku mając dany średni czas życia pierwiastka lub odwrotnie.

________________
* Autorem tej części artykułu jest Kris-0.
Ostatnio zmieniony 1 mar 2009, o 14:25 przez Wasilewski, łącznie zmieniany 4 razy.
ODPOWIEDZ