Weźmy dla przykładu takie oto zadanko:
Sposób rozwiązania:Rowerzysta pokonał pierwszą połowę drogi z prędkością \(\displaystyle{ 20 m/s}\), drugą zaś z prędkością \(\displaystyle{ 10m/s}\). Jaka była jego szybkość średnia?
Najpierw musimy dowiedzieć się co to takiego ta szybkość średnia. Z definicji (trochę uproszczonej):
Wiedząc że wzór na szybkość wygląda tak:SZYBKOŚĆ ŚREDNIA jest to całkowita droga jaką przejechał dany obiekt do czasu trwania jego ruchu (całego czasu).
\(\displaystyle{ v=\frac{s}{t}}\)
możemy to łatwo obliczyć
Ale ale jest pewien problem We wzorze mamy czas i drogę, a w danych czegoś takiego niema co zrobić w takim wypadku?
Pierwszą rzeczą jest przekształcenie naszego słynnego wzoru na szybkość tak żeby wyznaczyć z niego czas. Więc do dzieła:
\(\displaystyle{ v=\frac{s}{t}|\cdot t \rightarrow vt=s|:V \rightarrow t= \frac{s}{v}}\)
Mamy wyznaczony czas.
Po drugie dla łatwiejszego rozrachunku drogę całkowitą rozbijmy sobie na dwie połówki, czyli \(\displaystyle{ s}\) będzie dla nas połową drogi.
Podstawiając do wzoru na szybkość średnią
\(\displaystyle{ v_{sr}=\frac{s+s}{t_1+t_2}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ t_1}\) - czas na pokonanie pierwszej połowy drogi,
\(\displaystyle{ t_2}\) - czas na pokonanie drugiej połowy drogi.
Teraz podstawiamy za \(\displaystyle{ t_1}\) i \(\displaystyle{ t_2}\) pod wzór, który wyznaczyliśmy kilka linijek wyżej:
\(\displaystyle{ v_{sr}=\frac{2s}{\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}}}\).
Z części \(\displaystyle{ \frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}}\) możemy wyciągnąć \(\displaystyle{ s}\) przed nawias (mam nadzieję, że każdy wie jak to zrobić), mamy więc:
\(\displaystyle{ v_{sr}=\frac{2s}{s\cdot (\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2})}}\),
skracamy przez \(\displaystyle{ s}\):
\(\displaystyle{ v_{sr}=\frac{2}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}}}\)
i w mianowniku doprowadzamy do wspólnego mianownika Czyli:
\(\displaystyle{ v_{sr}=\frac{2}{\frac{v_1+v_2}{v_2 \cdot v_1}}}\)
Dalej wiadomo że jak dzielimy przez ułamek to jest równoznaczne z mnożeniem przez jego odwrotność:
\(\displaystyle{ v_{sr}=\frac{2 \cdot v_2 \cdot v_1}{v_1+v_2}}\).
Mając to wyznaczone podstawiamy dane liczbowe:
\(\displaystyle{ v_{sr}=\frac{2 \cdot 20\frac{m}{s} \cdot 10\frac{m}{s}}{10\frac{m}{s}+20\frac{m}{s}},\\
v_{sr}=\frac{400\frac{m^2}{s^2}}{30 \frac{m}{s}},\\
v_{sr}\approx 13 \frac{m}{s}}\)
Jak widać prędkość ta jest inna niż średnia arytmetyczna która wynosi \(\displaystyle{ 15m/s}\).
Dla zainteresowanych szybkość średnią w tym przypadku oblicza się korzystając ze średniej harmonicznej (o niej i o innych średnich możecie poczytać w TYM topicu).
BTW
to kompendium starałem się napisać jak najbardziej łopatologicznie.
mam nadzieje ze moja praca pomoże komuś, ułatwi zrozumienie zagadnienia.
wszelkie niejasności, zauważone błędy oraz sugestie proszę zgłaszać na PW
EDIT:
Jako, że autor wątku nie pojawił się na forum od dłuższego czasu, błąd merytoryczny (wskazany przez użytkownika korki_fizyka, dzięki ) poprawiłem ja. Błąd ten polegał na nazywaniu prędkością średnią coś, co zwykle nazywa się szybkością średnią (przez niektórych autorów nazywaną "średnią wartością prędkości"). Prędkość średnia jest wielkością wektorową i w ogólności nijak ma się do szybkości średniej.
Ponadto poprawiłem trochę gramatykę, interpunkcję i takie tam.
AiDi