Model czasoprzestrzeni Friedmana-Robertsona-Walkera
Dane obserwacyjne wskazują, że w pewnej skali ( większej od kilkuset megaparseków ) Wszechświat jest w pewnym przybliżeniu jednorodny i izotropowy. Założenia o jednorodności i izotropii zarówno czasoprzestrzeni jak i rozkładu materii i promieniowania są głównymi założeniami modeli kosmologicznych FRW.W tym temacie przedstawimy kilka podstawowych własności tego modelu i wynikających z niego faktów.
Przyjmijmy tutaj oznaczenia współrzędnych: \(\displaystyle{ \left(x^0,x^1,x^2,x^3\right)=\left(t,r,\theta,\phi\right)}\)
Element liniowy dany jest zależnością:
\(\displaystyle{ \mbox{d}s^2=-\mbox{d} t^2+a^2(t)\left[\frac{ \mbox{d}r^2}{1-kr^2}+r^2\left(\mbox{d}\theta^2+\sin^2\theta \mbox{d}\phi^2\right)\right]}\) ,
gdzie \(\displaystyle{ a(t)}\) jest tzw. czynnikiem skali, natomiast \(\displaystyle{ k}\) przyjmuje wartości :
\(\displaystyle{ k= \begin{cases}1 , \ \mbox{dla modelu zamkniętego} \\ 0, \ \mbox{dla modelu płaskiego} \\ -1 , \ \mbox{dla modelu otwartego}\end{cases}}\)
Metryka w postaci macierzowej jest następująca :$$
g_{\alpha\beta} =
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac{a^2\left(t\right)}{1-kr^2} & 0 & 0 \\
0& 0& a^2\left(t\right)r^2&0\\
0 & 0 & 0 & a^2\left(t\right)r^2\sin^2\theta
\end{pmatrix}
$$
Wykorzystując tą postać metryki możemy zapisać element liniowy jako \(\displaystyle{ \mbox{d}s^2=g_{uv}\mbox{d}x^u\mbox{d}x^v}\)
Uwzględniając fakt, że pochodna funkcji stałej jest zerem, wnioskujemy, że jedyne niezerowe pochodne tensora metrycznego to:
\(\displaystyle{ \begin{align*}\frac{\partial g_{11}}{\partial x^{0}},\ \frac{\partial g_{11}}{\partial x^{1}},\ \frac{\partial g_{22}}{\partial x^{0}},\ \frac{\partial g_{22}}{\partial x^{1}},\ \frac{\partial g_{33}}{\partial x^{0}},\ \frac{\partial g_{33}}{\partial x^{1}},\ \frac{\partial g_{33}}{\partial x^{2}},\end{align*}}\)
Symbole Christoffela ( drugiego rodzaju )
Symbole Christoffela można wyznaczyć z równań geodezyjnych lub ogólnego wzoru. Tutaj zaprezentujemy sposób ich wyznaczania z ogólnego wzoru:
\(\displaystyle{ \Gamma^{\alpha}_{\beta\gamma}=\frac{1}{2g_{\alpha\alpha}}\left(\frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^{\gamma}}+ \frac{\partial g_{\alpha \gamma}}{\partial x^{\beta}}- \frac{\partial g_{\beta \gamma}}{\partial x^{\alpha}} \right)}\)
Dodatkowo musimy pamiętać, że symbole Christoffela są symetryczne ze względu na przestawienie dolnych wskaźników, tj.
\(\displaystyle{ \Gamma^{\alpha}_{\beta \gamma}=\Gamma^{\alpha}_{\gamma \beta}}\)
Z postaci ogólnego wzoru oraz na podstawie informacji o niezerowych pochodnych tensora metrycznego wnioskujemy, że jedyne niezerowe symbole Christoffela to :
\(\displaystyle{ \begin{align*}&\Gamma^{1}_{10}=\Gamma^{1}_{01}, \Gamma^{0}_{11}, \Gamma^{1}_{11},\Gamma^{2}_{20}=\Gamma^{2}_{02}, \Gamma^{0}_{22},\Gamma^{2}_{21}=\Gamma^{2}_{12}, \Gamma^{1}_{22}, \Gamma^{3}_{30}=\Gamma^{3}_{03}, \Gamma^{0}_{33}, \Gamma^{3}_{31}=\Gamma^{3}_{13}, \Gamma^{1}_{33},\\ & \Gamma^{3}_{32}=\Gamma^{3}_{23},\Gamma^{2}_{33}\end{align*}}\)
Policzmy najpierw te symbole dla \(\displaystyle{ \beta=\gamma , \alpha \neq \beta}\)
Mamy :
\(\displaystyle{ \begin{align*}\Gamma^{\alpha}_{\beta\gamma}=&\Gamma^{\alpha}_{\beta\beta}=\frac{1}{2g_{\alpha\alpha}}\left(\frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^{\beta}}+ \frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial x^{\beta}}- \frac{\partial g_{\beta \beta}}{\partial x^{\alpha}}\right)=\frac{1}{2g_{\alpha\alpha}}\left(2\frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^{\beta}}- \frac{\partial g_{\beta \beta}}{\partial x^{\alpha}}\right)=\\ & =-\frac{1}{2g_{\alpha\alpha}}\cdot\frac{\partial g_{\beta \beta}}{\partial x^{\alpha}}\end{align*}}\)
dla \(\displaystyle{ \alpha\neq\beta}\) pochodna \(\displaystyle{ \frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^{\beta}}=0}\), ponieważ elementy leżące poza główną przekątną są zerowe.
Stąd:
\(\displaystyle{ \begin{align*}\Gamma^{0}_{11}=&-\frac{1}{2g_{00}}\cdot \frac{\partial g_{11}}{\partial x^{0}}=-\frac{1}{2\cdot\left(-1\right)}\cdot \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{a^2(t)}{1-kr^2}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2a(t)a'(t)}{1-kr^2}= \frac{a(t)a'(t)}{1-kr^2}\\ \Gamma^{0}_{22}=&-\frac{1}{2g_{00}}\cdot \frac{\partial g_{22}}{\partial x^{0}}=-\frac{1}{2\cdot \left(-1\right)}\cdot \frac{\partial}{\partial t} \left(a^2(t)\cdot r^2\right)=\frac{1}{2}\cdot 2a(t)a'(t)r^2=a(t)a'(t)r^2\\ \Gamma^{1}_{22}=&-\frac{1}{2g_{11}}\cdot \frac{\partial g_{22}}{\partial x^{1}}=-\frac{1}{\frac{2a^2(t)}{1-kr^2}}\cdot \frac{\partial }{\partial r}\left(a^2(t)r^2\right)=-\frac{1-kr^2}{2a^2(t)}\cdot 2a^2(t)r=-r\left(1-kr^2\right)\\ \Gamma^{0}_{33}=&-\frac{1}{2g_{00}}\cdot \frac{\partial g_{33}}{\partial x^{0}}=-\frac{1}{2\cdot\left(-1\right)}\cdot \frac{\partial}{\partial t}\left(a^2(t)r^2\sin^2\theta=\frac{1}{2}\cdot 2a(t)a'(t)r^2\sin^2\theta\right)=\\&= a(t)a'(t)r^2\sin^2\theta \\ \Gamma^{1}_{33}=&-\frac{1}{2g_{11}}\cdot \frac{\partial g_{33}}{\partial x^{1}}=-\frac{1}{\frac{2a^2(t)}{1-kr^2}}\cdot \frac{\partial}{\partial r}\left(a^2(t)r^2\sin^2\theta\right)=-\frac{1-kr^2}{2a^2(t)}\cdot 2ra^2(t)\sin^2\theta=\\&=-r(1-kr^2)\sin^2\theta\\ \Gamma^{2}_{33}=&-\frac{1}{2g_{22}}\cdot \frac{\partial g_{33}}{\partial x^{2}}=-\frac{1}{2a^2(t)r^2}\cdot\frac{\partial }{\partial \theta}\left(a^2(t)r^2\sin^2\theta\right)=\\&=\frac{-1}{2a^2(t)r^2}\cdot a^2(t)r^2\cdot 2\sin\theta\cos\theta=-\sin\theta\cos\theta \end{align*}}\)
Pozostałe symbole są postaci \(\displaystyle{ \Gamma^{\alpha}_{\alpha\gamma}}\) lub są symetryczne do nich.
Zatem mamy do policzenia
\(\displaystyle{ \Gamma^{\alpha}_{\alpha\gamma}=\frac{1}{2g_{\alpha\alpha}}\left(\frac{\partial g_{\alpha\alpha}}{\partial x^{\gamma}}+ \frac{\partial g_{\alpha \gamma}}{\partial x^{\alpha}}- \frac{\partial g_{\alpha \gamma}}{\partial x^{\alpha}} \right)=\frac{1}{2g_{\alpha\alpha}}\cdot \frac{\partial g_{\alpha\alpha}}{\partial x^{\gamma}}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \begin{align*}\Gamma^{1}_{11}=&\frac{1}{2g_{11}}\cdot \frac{\partial g_{11}}{\partial x^{1}}=\frac{1}{2\cdot \frac{a^2(t)}{1-kr^2} }\cdot \frac{\partial}{\partial r} \left(\frac{a^2(t)}{1-kr^2}\right)=\frac{1-kr^2}{2a^2(t)}\cdot \frac{a^2(t)\cdot 2kr}{\left(1-kr^2\right)^2}=\frac{kr}{1-kr^2}\\ \Gamma^{1}_{10}=&\frac{1}{2g_{11}}\cdot \frac{\partial g_{11}}{\partial x^{0}}=\frac{1}{2\cdot \frac{a^2(t)}{1-kr^2} }\cdot \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{a^2(t)}{1-kr^2}\right)=\frac{1-kr^2}{2a^2(t)}\cdot \frac{2a(t)a'(t)}{1-kr^2}=\frac{a'(t)}{a(t)}\\ \Gamma^{2}_{20}=&\frac{1}{2g_{22}}\cdot \frac{\partial g_{22}}{\partial x^{0}}=\frac{1}{2a^2(t)r^2}\cdot \frac{\partial}{\partial t}\left(a^2(t)r^2\right)=\frac{1}{2a^2(t)r^2}\cdot 2a(t)a'(t)r^2=\frac{a'(t)}{a(t)}\\ \Gamma^{2}_{21}=&\frac{1}{2g_{22}}\cdot \frac{\partial g_{22}}{\partial x^{1}}=\frac{1}{2a^2(t)r^2}\cdot \frac{\partial}{\partial r}\left(a^2(t)r^2\right)=\frac{1}{2a^2(t)r^2}\cdot 2ra^2(t)=\frac{1}{r}\\ \Gamma^{3}_{30}=&\frac{1}{2g_{33}}\cdot \frac{\partial g_{33}}{\partial x^{0}}=\frac{1}{2a^2(t)r^2\sin^2\theta}\cdot \frac{\partial}{\partial t}\left(a^2(t)r^2\sin^2\theta\right)=\\&=\frac{1}{2a^2(t)r^2\sin^2\theta}\cdot 2a(t)a'(t)r^2\sin^2\theta=\frac{a'(t)}{a(t)}\\ \Gamma^{3}_{31}=&\frac{1}{2g_{33}}\cdot \frac{\partial g_{33}}{\partial x^{1}}=\frac{1}{2a^2(t)r^2\sin^2\theta}\cdot \frac{\partial}{\partial r}\left(a^2(t)r^2\sin^2\theta\right)=\\&=\frac{1}{2a^2(t)r^2\sin^2\theta}\cdot 2ra^2(t)\sin^2\theta=\frac{1}{r}\\ \Gamma^{3}_{32}=&\frac{1}{2g_{33}}\cdot \frac{\partial g_{33}}{\partial x^{2}}=\frac{1}{2a^2(t)r^2\sin^2\theta}\cdot \frac{\partial}{\partial \theta} \left(a^2(t)r^2\sin^2\theta\right)=\frac{2a^2(t)r^2\sin\theta\cos\theta}{2a^2(t)r^2\sin^2\theta}=\\&=\ctg \theta \end{align*}}\)
Pozostałe parametry opisujące krzywiznę czasoprzestrzeni podamy bez wyprowadzenia ( ze względu na ograniczoną ilość miejsca ) oraz pominiemy te, które wynikają bezpośrednio z własności symetrii tensorów.
Tensor Riemanna
\(\displaystyle{ \begin{align*}R_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}\hat{r}}=&R_{\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}}=R_{\hat{t}\hat{\phi}\hat{t}\hat{\phi}}= -\frac{a''(t) }{a(t) } \\R_{\hat{r}\hat{\theta}\hat{r}\hat{\theta}}=&R_{\hat{r}\hat{\phi}\hat{r}\hat{\phi}}=R_{\hat{\theta}\hat{\phi}\hat{\theta}\hat{\phi}}= \frac{ k+ \left( a'(t) \right) ^2}{a^2(t) }\end{align*}}\)
Tensor Einsteina
\(\displaystyle{ \begin{align*}G_{\hat{t}\hat{t}}=& 3 \cdot \frac{ k+ \left( a'(t)\right) ^2}{a^2(t) }\\G_{\hat{r}\hat{r}}=&G_{\hat{\theta}\hat{\theta}}=G_{\hat{\phi}\hat{\phi}}= -\frac{k+ \left(a'(t) \right) ^2+2a(t) a''(t)}{a^2 (t) }\end{align*}}\)
Przedstawimy teraz kilka konsekwencji wynikających z przyjęcia tego modelu.
Przesunięcie ku czerwieni
Rozważmy płaską metrykę FRW ( \(\displaystyle{ k=0}\) ). Element liniowy jest postaci :
\(\displaystyle{ \dd s^2=-\dd t^2+a^2(t)\left[\dd r^2+r^2\left(\mbox{d}\theta^2+\sin^2\theta \mbox{d}\phi^2\right)\right]}\)
Ustalmy tak układ współrzędnych, by obserwator znalazł się w jego początku. Załóżmy, że w chwili \(\displaystyle{ t_0}\) z galaktyki o współrzędnej radialnej \(\displaystyle{ r=R}\) został wyemitowany foton o częstości \(\displaystyle{ \omega_0}\). Naszego zadanie polega na znalezieniu częstości \(\displaystyle{ \omega}\) zarejestrowanej przez obserwatora w chwili \(\displaystyle{ t}\).
Impuls świetlny wysłany z odległej galaktyki rozchodzi się wzdłuż radialnej krzywej zerowej, dla której spełniona jest zależność
\(\displaystyle{ \mbox{d}s^2=0=-\mbox{d}t^2+a^2(t)\mbox{d}r^2}\)
Mamy więc
\(\displaystyle{ \mbox{d}r= \frac{\mbox{d}t}{a(t)}}\)
W przedziale czasu \(\displaystyle{ \left( t_0,t \right)}\) impuls pokonuje odległość, określoną przez zmianę współrzędnej radialnej, równą \(\displaystyle{ R}\).
Mamy zatem
\(\displaystyle{ R= \int_{t_0}^{t} \frac{\mbox{d}t}{a(t)}}\)
Niech teraz źródło emituje serię impulsów oddzielonych bardzo krótkimi przedziałami czasu \(\displaystyle{ \Delta t_0}\), a więc z częstością \(\displaystyle{ \omega_{0}= \frac{2 \pi }{\Delta t_0}}\).
Wszystkie impulsy pokonują taką samą odległość mierzoną zmianą współrzędnej radialnej o \(\displaystyle{ R}\), a więc
\(\displaystyle{ \int_{t_0}^{t} \frac{\mbox{d}t}{a(t)}=\int_{t_0+\Delta t_0}^{t+\Delta t} \frac{\mbox{d}t}{a(t)}}\)
Założyliśmy, że \(\displaystyle{ \Delta t_0}\) oraz \(\displaystyle{ \Delta t}\) są bardzo małe, więc powyższe całki różnią się tylko niewielkimi zmianami granic całkowania. Zatem musi być
\(\displaystyle{ \frac{\Delta t}{a(t)} - \frac{\Delta t_0}{a(t_0)} =0}\)
Kładąc teraz \(\displaystyle{ \Delta t= \frac{2\pi}{\omega}}\) oraz \(\displaystyle{ \Delta t_0= \frac{2\pi}{\omega_0}}\) dostajemy
\(\displaystyle{ \frac{\omega}{\omega_0}= \frac{a(t_0)}{a(t)}}\)
Jeżeli Wszechświat się rozszerza to \(\displaystyle{ a(t)}\) jest rosnącą funkcją czasu.
Zatem
\(\displaystyle{ a(t_0)<a(t)}\)
A w konsekwencji
\(\displaystyle{ \omega <\omega_0}\)
Otrzymaliśmy więc przesunięcie ku czerwieni (redshift), które możemy określić wprowadzając wielkość \(\displaystyle{ z}\), taką, że zachodzi
\(\displaystyle{ 1+z=\frac{\omega}{\omega_0}= \frac{a(t_0)}{a(t)}}\)
Powyższe rozumowanie przeprowadzone było dla płaskiego modelu FRW. Jednak ma on taką samą postać również w innych modelach. Jako ćwiczenie proponuję dowód tego faktu, tj. że wyprowadzony wzór ma taką samą postać w modelach FRW z niezerową krzywizną przestrzenną.
\(\displaystyle{ \dd s^2=-\dd t^2+a^2(t)\left[\dd r^2+r^2\left(\mbox{d}\theta^2+\sin^2\theta \mbox{d}\phi^2\right)\right]}\)
Ustalmy tak układ współrzędnych, by obserwator znalazł się w jego początku. Załóżmy, że w chwili \(\displaystyle{ t_0}\) z galaktyki o współrzędnej radialnej \(\displaystyle{ r=R}\) został wyemitowany foton o częstości \(\displaystyle{ \omega_0}\). Naszego zadanie polega na znalezieniu częstości \(\displaystyle{ \omega}\) zarejestrowanej przez obserwatora w chwili \(\displaystyle{ t}\).
Impuls świetlny wysłany z odległej galaktyki rozchodzi się wzdłuż radialnej krzywej zerowej, dla której spełniona jest zależność
\(\displaystyle{ \mbox{d}s^2=0=-\mbox{d}t^2+a^2(t)\mbox{d}r^2}\)
Mamy więc
\(\displaystyle{ \mbox{d}r= \frac{\mbox{d}t}{a(t)}}\)
W przedziale czasu \(\displaystyle{ \left( t_0,t \right)}\) impuls pokonuje odległość, określoną przez zmianę współrzędnej radialnej, równą \(\displaystyle{ R}\).
Mamy zatem
\(\displaystyle{ R= \int_{t_0}^{t} \frac{\mbox{d}t}{a(t)}}\)
Niech teraz źródło emituje serię impulsów oddzielonych bardzo krótkimi przedziałami czasu \(\displaystyle{ \Delta t_0}\), a więc z częstością \(\displaystyle{ \omega_{0}= \frac{2 \pi }{\Delta t_0}}\).
Wszystkie impulsy pokonują taką samą odległość mierzoną zmianą współrzędnej radialnej o \(\displaystyle{ R}\), a więc
\(\displaystyle{ \int_{t_0}^{t} \frac{\mbox{d}t}{a(t)}=\int_{t_0+\Delta t_0}^{t+\Delta t} \frac{\mbox{d}t}{a(t)}}\)
Założyliśmy, że \(\displaystyle{ \Delta t_0}\) oraz \(\displaystyle{ \Delta t}\) są bardzo małe, więc powyższe całki różnią się tylko niewielkimi zmianami granic całkowania. Zatem musi być
\(\displaystyle{ \frac{\Delta t}{a(t)} - \frac{\Delta t_0}{a(t_0)} =0}\)
Kładąc teraz \(\displaystyle{ \Delta t= \frac{2\pi}{\omega}}\) oraz \(\displaystyle{ \Delta t_0= \frac{2\pi}{\omega_0}}\) dostajemy
\(\displaystyle{ \frac{\omega}{\omega_0}= \frac{a(t_0)}{a(t)}}\)
Jeżeli Wszechświat się rozszerza to \(\displaystyle{ a(t)}\) jest rosnącą funkcją czasu.
Zatem
\(\displaystyle{ a(t_0)<a(t)}\)
A w konsekwencji
\(\displaystyle{ \omega <\omega_0}\)
Otrzymaliśmy więc przesunięcie ku czerwieni (redshift), które możemy określić wprowadzając wielkość \(\displaystyle{ z}\), taką, że zachodzi
\(\displaystyle{ 1+z=\frac{\omega}{\omega_0}= \frac{a(t_0)}{a(t)}}\)
Powyższe rozumowanie przeprowadzone było dla płaskiego modelu FRW. Jednak ma on taką samą postać również w innych modelach. Jako ćwiczenie proponuję dowód tego faktu, tj. że wyprowadzony wzór ma taką samą postać w modelach FRW z niezerową krzywizną przestrzenną.
Pierwsza zasada termodynamiki dla modeli FRW
Rozważmy ciecz kosmologiczną zamkniętą w objętości \(\displaystyle{ \Delta \mathcal{V}}\). Z założenia przestrzeń jest izotropowa, stąd nie ma przepływu ciepła w dowolnym kierunku. Ponadto jednorodność oznacza, że temperatura \(\displaystyle{ T}\) zależy tylko od czasu. A więc strumień ciepła jest równy zeru i w dowolnej chwili czasu temperatura jest wszędzie jednakowa.
Zatem, zgodnie z pierwszą zasadą termodynamiki, infinitezymalna zmiana całkowitej energii cieczy \(\displaystyle{ \mbox{d}(\Delta E)}\) zależy od \(\displaystyle{ \Delta \mathcal{V}}\) :
\(\displaystyle{ \mbox{d} \left( \Delta E \right) =-p\mbox{d} \left( \Delta \mathcal{V} \right)}\),
gdzie \(\displaystyle{ p}\) oznacza ciśnienie materii zawartej w objętości \(\displaystyle{ \Delta \mathcal{V}}\).
Energia cieczy \(\displaystyle{ \Delta E}\) jest równa \(\displaystyle{ \rho \Delta \mathcal{V}}\), przy czym \(\displaystyle{ \rho}\) jest całkowitą gęstością energii.
Ustalmy \(\displaystyle{ \Delta \mathcal{V}_{wsp}=\Delta x \cdot \Delta y \cdot \Delta z}\)
Z postaci metryki FRW wynika, że \(\displaystyle{ d=a(t)d_{wps}}\), gdzie \(\displaystyle{ d_{wsp}= \sqrt{ \left( \Delta x \right) ^2+\left( \Delta y \right) ^2 +\left( \Delta z \right) ^2}}\),
skąd otrzymujemy w szczególności
\(\displaystyle{ \Delta \mathcal{V}=a^3(t)\Delta \mathcal{V}_{wsp}}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \mbox{d} \left( \rho a^3(t)\Delta \mathcal{V}_{wsp} \right) =-p\mbox{d} \left( a^3(t)\Delta \mathcal{V}_{wsp} \right) \\ \\ \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t} \left( \rho a^3(t)\Delta \mathcal{V}_{wsp} \right) =-p \frac{\mbox{d}}{\mbox{d} t} \left( a^3(t)\Delta \mathcal{V}_{wsp} \right)}\)
\(\displaystyle{ \Delta \mathcal{V}_{wsp}}\) nie zależy od czasu, zatem powyższe równanie możemy zapisać w ogólnej postaci :
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t} \left[\rho(t) a^3(t) \right] =-p(t) \frac{\mbox{d}}{\mbox{d} t} \left[ a^3(t) \right]}\)
Jest to pierwsza zasada termodynamiki dla jednorodnego i izotropowego Wszechświata.
Równanie Friedmana
Z równania Einsteina \(\displaystyle{ G_{\hat{t}\hat{t}}=8\pi\rho}\) dostajemy
\(\displaystyle{ 3 \cdot \frac{ k+ \left( a'(t)\right) ^2}{a^2(t) }=8\pi\rho \\ \\ \left(a'(t)\right)^2- \frac{8\pi\rho}{3}a^2(t)=-k}\)
Ostatnia zależność to tzw. równanie Friedmana. Określa ono ewolucję wszechświata przy założeniu jego przestrzennej jednorodności i izotropowości.
Rozważmy ciecz kosmologiczną zamkniętą w objętości \(\displaystyle{ \Delta \mathcal{V}}\). Z założenia przestrzeń jest izotropowa, stąd nie ma przepływu ciepła w dowolnym kierunku. Ponadto jednorodność oznacza, że temperatura \(\displaystyle{ T}\) zależy tylko od czasu. A więc strumień ciepła jest równy zeru i w dowolnej chwili czasu temperatura jest wszędzie jednakowa.
Zatem, zgodnie z pierwszą zasadą termodynamiki, infinitezymalna zmiana całkowitej energii cieczy \(\displaystyle{ \mbox{d}(\Delta E)}\) zależy od \(\displaystyle{ \Delta \mathcal{V}}\) :
\(\displaystyle{ \mbox{d} \left( \Delta E \right) =-p\mbox{d} \left( \Delta \mathcal{V} \right)}\),
gdzie \(\displaystyle{ p}\) oznacza ciśnienie materii zawartej w objętości \(\displaystyle{ \Delta \mathcal{V}}\).
Energia cieczy \(\displaystyle{ \Delta E}\) jest równa \(\displaystyle{ \rho \Delta \mathcal{V}}\), przy czym \(\displaystyle{ \rho}\) jest całkowitą gęstością energii.
Ustalmy \(\displaystyle{ \Delta \mathcal{V}_{wsp}=\Delta x \cdot \Delta y \cdot \Delta z}\)
Z postaci metryki FRW wynika, że \(\displaystyle{ d=a(t)d_{wps}}\), gdzie \(\displaystyle{ d_{wsp}= \sqrt{ \left( \Delta x \right) ^2+\left( \Delta y \right) ^2 +\left( \Delta z \right) ^2}}\),
skąd otrzymujemy w szczególności
\(\displaystyle{ \Delta \mathcal{V}=a^3(t)\Delta \mathcal{V}_{wsp}}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \mbox{d} \left( \rho a^3(t)\Delta \mathcal{V}_{wsp} \right) =-p\mbox{d} \left( a^3(t)\Delta \mathcal{V}_{wsp} \right) \\ \\ \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t} \left( \rho a^3(t)\Delta \mathcal{V}_{wsp} \right) =-p \frac{\mbox{d}}{\mbox{d} t} \left( a^3(t)\Delta \mathcal{V}_{wsp} \right)}\)
\(\displaystyle{ \Delta \mathcal{V}_{wsp}}\) nie zależy od czasu, zatem powyższe równanie możemy zapisać w ogólnej postaci :
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t} \left[\rho(t) a^3(t) \right] =-p(t) \frac{\mbox{d}}{\mbox{d} t} \left[ a^3(t) \right]}\)
Jest to pierwsza zasada termodynamiki dla jednorodnego i izotropowego Wszechświata.
Równanie Friedmana
Z równania Einsteina \(\displaystyle{ G_{\hat{t}\hat{t}}=8\pi\rho}\) dostajemy
\(\displaystyle{ 3 \cdot \frac{ k+ \left( a'(t)\right) ^2}{a^2(t) }=8\pi\rho \\ \\ \left(a'(t)\right)^2- \frac{8\pi\rho}{3}a^2(t)=-k}\)
Ostatnia zależność to tzw. równanie Friedmana. Określa ono ewolucję wszechświata przy założeniu jego przestrzennej jednorodności i izotropowości.
Źródło:
1.F.Melia Cosmological Redshift in FRW Metrics with Constant Spacetime Curvature
2.J.B.Hartle Gravity. An Introduction to Einstein's General Relativity
Wszelkie uwagi proszę kierować na PW.