Amplituda funkcji falowej, dozwolone wartości energii

Zbiór wzorów, pojęć, definicji z zakresu fizyki.
Awatar użytkownika
ares41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Amplituda funkcji falowej, dozwolone wartości energii

Post autor: ares41 »

Funkcja falowa opisująca cząstkę bezspinową w jednowymiarowym ograniczonym obszarze o rozciągłości \(\displaystyle{ l}\) ma postać \(\displaystyle{ \Psi=A\sin \left( \frac{n \pi x}{l} \right)}\), w układzie związanym z lewą krawędzią tego obszaru, \(\displaystyle{ n=1,2,3,\ldots}\). Znaleźć unormowana amplitudę tej funkcji oraz wyrażenie określające dozwolone wartości energii tej cząstki w takim obszarze.

Rozwiązanie:
Z warunku normalizacyjnego \(\displaystyle{ \int_{\tau}\Psi\Psi^{*}\mbox{d}\tau=1}\)
mamy:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{l}A^2\sin^2 \left( \frac{n \pi x}{l} \right) \mbox{d}x=1 \\ \\ \int_{0}^{l}\sin^2 \left( \frac{n \pi x}{l} \right) \mbox{d}x= \frac{1}{A^2}}\)
\(\displaystyle{ I=\int \sin^2 \left( \frac{n \pi x}{l} \right) \mbox{d}x=\left| \begin{matrix}
t= \frac{n\pi x}{l} \\
\mbox{d}t=\frac{n\pi \mbox{d}x}{l}
\end{matrix}\right|= \frac{l}{n\pi}\int \sin^2{t}\mbox{d}t= \frac{l}{2n\pi}\int \left( 1-\cos{2t} \right) \mbox{d}t= \\ =\frac{l}{2n\pi}\left(t- \frac{1}{2}\sin{2t} \right)+C=\frac{l}{2n\pi}\left(\frac{n\pi x}{l}- \frac{1}{2}\sin{\left(\frac{2n\pi x}{l}\right)} \right)+C}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \int_{0}^{l}\sin^2 \left( \frac{n \pi x}{l} \right) \mbox{d}x=\frac{l}{2n\pi}\left(\frac{n\pi l}{l}- \frac{1}{2}\sin{\left(\frac{2n\pi l}{l}\right)} \right)-\frac{l}{2n\pi}\left(\frac{n\pi\cdot 0}{l}- \frac{1}{2}\sin{\left(\frac{2n\pi \cdot 0}{l}\right)} \right)=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{l}{2}}\)
Czyli \(\displaystyle{ \frac{l}{2} = \frac{1}{A^2}}\)
A z tego mamy \(\displaystyle{ A= \sqrt{ \frac{2}{l} }}\)
Dla zerowej energii potencjalnej operator Hamiltona przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ \widehat{H}=- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{ \partial ^2}{ \partial x^2}}\)

Dla naszej funkcji falowej mamy:
\(\displaystyle{ \widehat{H}\Psi=- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{ \partial ^2}{ \partial x^2}\Psi=- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{ \partial ^2}{ \partial x^2}A\sin \left( \frac{n \pi x}{l} \right)=-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{ \partial }{ \partial x} \frac{An\pi }{l}\cos \left( \frac{n \pi x}{l} \right)=}\)
\(\displaystyle{ =-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{An\pi }{l} \frac{n\pi}{l} \cdot \left[-\sin \left( \frac{n \pi x}{l} \right)\right]= \frac{\hbar^2 An^2\pi^2}{2ml^2}\sin \left( \frac{n \pi x}{l} \right)}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \widehat{H}\Psi=\frac{\hbar^2 n^2\pi^2}{2ml^2}\Psi}\)
A więc dozwolone wartości energii to
\(\displaystyle{ E_n=\frac{\hbar ^2 n^2\pi^2}{2ml^2}= \frac{ \frac{h^2}{4\pi^2}n^2\pi^2 }{2ml^2} = \frac{n^2h^2}{8ml^2}}\)
\(\displaystyle{ \hline}\)
Wszelkie uwagi proszę kierować na PW
Zablokowany