Okręgi Carlyle'a i ich zastosowanie

Zbiór informacji o elementarnych zagadnieniach matematyki, klasyfikowanych najczęściej jako "ciekawostki" właśnie...
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Okręgi Carlyle'a i ich zastosowanie

Post autor: yorgin »

Okręgi Carlyle'a i ich zastosowanie


Okręgi Carlyle'a są obiektami geometrycznymi umieszczonymi na płaszczyźnie w pewien specjalny sposób. Specyfika ta polega na powiązaniu pewnego okręgu z równaniem kwadratowym oraz jego pierwiastkami.

Załóżmy więc, że dane jest równanie kwadratowe:

\(\displaystyle{ \left( 1 \right) \qquad\qquad x^2-px+q=0.}\)

Chcielibyśmy wyznaczyć graficzne rozwiązanie tego równania. Narzuca się narysowanie odpowiedniej paraboli, jednak do jej dokładnego narysowania potrzebna jest znajomość pierwiastków. Tworzy się błędne koło. Istnieje jednak metoda pozwalająca ten problem rozwiązać. Jest to metoda okręgu Carlyle'a.

Okręgiem Carlyle'a skojarzonym z równaniem \(\displaystyle{ \left( 1 \right)}\) nazywamy okrąg, którego jednym z końców średnicy tego okręgu jest punkt \(\displaystyle{ \left( 0,1 \right)}\), a drugim z końców jest punkt \(\displaystyle{ \left( p,q \right)}\).
Carlyle Circle.jpg
Carlyle Circle.jpg (16.16 KiB) Przejrzano 3602 razy
\(\displaystyle{ A=(p,q)}\). Punkt \(\displaystyle{ C}\) jest środkiem okręgu o średnicy \(\displaystyle{ AB}\).

Okrąg Carlyle'a jest wyznaczony jednoznacznie przez dane równanie. Ponadto dowolny okrąg na płaszczyźnie przechodzący przez punkt \(\displaystyle{ \left( 0,1 \right)}\) wyznacza pewien okrąg Carlyle'a. Jednak najważniejszą cechą okręgu jest jej związek z równaniem \(\displaystyle{ \left( 1 \right)}\). Okazuje się bowiem, że ten okrąg o ile przecina oś \(\displaystyle{ \text{OX}}\), to przecina ją w punktach, których odcięte są rozwiązaniami równania kwadratowego. Ten zdumiewający fakt jest wykorzystywany między innymi w kostrukcjach wielokątów foremnych.




Wykażemy podstawowy fakt dotyczący okręgów Carlyle'a, wiążący go z równaniem \(\displaystyle{ (1)}\).

Środek okręgu o średnicy opartej na punktach \(\displaystyle{ \left( 0,1 \right) , \left( p,q \right)}\) to punkt \(\displaystyle{ \left( \frac{p}{2},1+\frac{q-1}{2} \right)}\), a jego promień to \(\displaystyle{ \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right) ^2+ \left( \frac{q-1}{2} \right) ^2}}\) - z twierdzenia Pitagorasa.

Okrąg Carlyle'a ma zatem równanie

\(\displaystyle{ \left( 2 \right) \qquad\qquad \left( x-\frac{p}{2} \right) ^2+ \left( y- \left( 1+\frac{q-1}{2} \right) \right) ^2= \left( \frac{p}{2} \right) ^2+ \left( \frac{q-1}{2} \right) ^2}\).

Interesują nas punkty przecięcia się okręgu z osią \(\displaystyle{ \text{OX}}\). Podstawiamy zatem \(\displaystyle{ y=0}\) do równania \(\displaystyle{ \left( 2 \right)}\), otrzymując następujące:

\(\displaystyle{ \left( 3 \right) \qquad\qquad \left( x-\frac{p}{2} \right) ^2+ \left( 1+\frac{q-1}{2} \right) ^2= \left( \frac{p}{2} \right) ^2+ \left( \frac{q-1}{2} \right) ^2}\).

Po rozwinięciu kwadratów oraz uproszczeniach otrzymamy

\(\displaystyle{ \left( 4 \right) \qquad\qquad x^2-px+q=0}\),

a więc istotnie punkty przecięcia okręgu o równaniu \(\displaystyle{ \left( 2 \right)}\) z osią \(\displaystyle{ \text{OX}}\) są punktami, których odcięte spełniają równanie \(\displaystyle{ \left( 1 \right)}\).




Okręgi Carlyle'a pozwalają na konstrukcje wielokątów foremnych, takich jak pięciokąt oraz siedemnastokąt.

  • Konstrukcja pięciokąta foremnego.
    Poprawność konstrukcji pięciokąta foremnego:    
  • Konstrukcja siedemnastokąta foremnego.

Uwaga: jeżeli animacja nie startuje, można przełączyć tryb wyświetlania z html na aplet javy. Opcja ta jest dostępna w napisach pod animacją. Jeżeli i ta operacja nie pomoże, należy spróbować wyświetlić na innej przeglądarce.


Powyższy artykuł jest skróconą wersją artykułu pochodzącego z Delty (tego samego autora):

Okręgi Carlyle'a w Delcie.

http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/algebra/2015/07/22/Okregi_Carlyle_a/

Prawa autorskie wymagają, by cytując treści powyższego, cytować nadrzędnie artykuł z Delty.
Prawa autorskie - obrazki:    
Zablokowany