Pierwiastek z dwóch i funkcje trygonometryczne

Zbiór informacji o elementarnych zagadnieniach matematyki, klasyfikowanych najczęściej jako "ciekawostki" właśnie...
luka52
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8601
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1816 razy

Pierwiastek z dwóch i funkcje trygonometryczne

Post autor: luka52 » 15 lip 2012, o 20:54

Na początku nauki o funkcjach trygonometrycznych często rozważamy przykład z trójkątem prostokątnym, których przyprostokątne są jednostkowej długości. Długość przeciwprostokątnej możemy wtedy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa jako \(\displaystyle{ \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}}\).
Wtedy też sinus i kosinus kąta ostrego, którego miara to \(\displaystyle{ 45^\circ}\) lub inaczej \(\displaystyle{ \tfrac{\pi}{4}}\), mają tą samą wartość równą:
\(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{2} \; .}\)
Następnie przychodzi czas na poznawanie kolejnych własności różnych funkcji trygonometrycznych jak i tożsamości z nimi związanych. Jedną z takich tożsamości jest wzór na kosinus podwojonego argumentu w następującej postaci:
\(\displaystyle{ \cos 2 x = 2 \cos^2 x - 1 \; . \quad (1)}\)
Spróbujmy znaleźć geometryczny dowód tej tożsamości ograniczając się jedynie do kątów \(\displaystyle{ \le 45^\circ}\).
Dowód:    
Tożsamość (1) to punkt wyjścia do naszych dalszych rozważań. Zapiszmy jednak (1) w innej, równoważnej postaci:
\(\displaystyle{ \cos \frac{x}{2} = \sqrt{ \frac{1 + \cos x}{2} } = \frac{1}{2} \sqrt{2 + 2 \cos x} \; . \quad (2)}\)
We wzorze (2) ponownie ograniczyliśmy się jedynie do kątów ostrych. Podstawiając \(\displaystyle{ x = \tfrac{\pi}{4}}\) mamy w szczególności:
\(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{8} = \frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}} \; .}\)
Proces ten możemy dalej kontynuować uzyskując wartości \(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{2^n}}\) dla \(\displaystyle{ n = 2, 3, 4, \ldots}\). Kilka pierwszych takich wartości podajemy w tabelce:
\(\displaystyle{ \begin{array}{r|r}
\cos \frac{\pi}{4} & \frac{1}{2} \sqrt{2} \\
\cos \frac{\pi}{8} & \frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}} \\
\cos \frac{\pi}{16} & \frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} \\
\cos \frac{\pi}{32} & \frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}} \\
\vdots & \vdots \\
\cos \frac{\pi}{2^n} & \frac{1}{2} \underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \ldots + \sqrt{2}}}}_{n-1 \; {\rm pierwiastkow}}
\end{array}}\)
Jednym z prostych wniosków jakie się nasuwają jest możliwość obliczenia następującej granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} \underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \ldots + \sqrt{2}}}}_{n-1 \; {\rm pierwiastkow}} = 2 \lim_{n \to +\infty} \cos \frac{\pi}{2^n} = 2 \cos 0 = 2 \; .}\)
Następnym rezultatem jest możliwość konstrukcji kąta o mierze \(\displaystyle{ \pi 2^{-n}}\) innym sposobem aniżeli przez kolejny podział kąta \(\displaystyle{ \tfrac{\pi}{2}}\) na pół i na pół, i na pół, ..., i na pół. W tym celu skorzystajmy z konstrukcji odcinka o długości \(\displaystyle{ \sqrt{ab}}\), gdy dane są odcinki o długości \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\):
Jest to trójkąt prostokątny o podstawie długości \(\displaystyle{ a+b}\) i wysokości \(\displaystyle{ \sqrt{ab}}\) wpisany w okrąg.
Dowód:    
Przyjmując \(\displaystyle{ b=1}\) oraz \(\displaystyle{ a = 2}\) konstruujemy odcinek długości \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\). Następnie możemy przyjąć \(\displaystyle{ b = 1}\) i \(\displaystyle{ a = 2 + \sqrt{2}}\) co da nam \(\displaystyle{ \sqrt{2 + \sqrt{2}}}\). Czynność tę powtarzamy wymaganą liczbę razy. Mając dany odcinek długości \(\displaystyle{ \underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \ldots + \sqrt{2}}}}_{n-1 \; {\rm pierwiastkow}}}\) dzielimy go na dwie połowy i w jednym z końców umieszczamy okrąg jednostkowy. Z drugiego końca prowadzimy prostą prostopadłą do odcinka. Punkt przecięcia prostej i okręgu pozwala dalej wyznaczyć szukany kąt ostry:
W tym przypadku jest to kąt o mierze \(\displaystyle{ 22,\!5^\circ}\).

Mając daną wartość kosinusa kąta możemy skorzystać z jedynki trygonometrycznej by obliczyć sinus kąta. Jak to będzie w przypadku ogólnym, tj. \(\displaystyle{ \sin \tfrac{\pi}{2^n}}\)? Zapiszmy:
\(\displaystyle{ $\begin{align*}
\sin \frac{\pi}{2^n} &= \sqrt{1 - \left( \frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2 + \ldots + \sqrt{2}}}\right)^2 } \\
& = \frac{1}{2} \sqrt{ 4 - \left( 2 + \sqrt{2 + \ldots + \sqrt{2}} \right) } \\
& = \frac{1}{2} \underbrace{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \ldots + \sqrt{2}} }}_{n-1 \; {\rm pierwiastkow}}
\end{align*}$}\)
Otrzymaliśmy więc bardzo podobny wzór jak w przypadku kosinusów.

Na zakończenie podamy pewną ciekawą granicę. Mianowicie dla argumentów bliskich 0 jest \(\displaystyle{ \sin x \approx x}\), czyli możemy zapisać:
\(\displaystyle{ $\begin{align*} \sin \frac{\pi}{2^n} &\approx \frac{\pi}{2^n} \approx \frac{1}{2} \underbrace{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \ldots + \sqrt{2}} }}_{n-1 \; {\rm pierwiastkow}} \\
\pi &\approx \frac{2^n}{2} \underbrace{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \ldots + \sqrt{2}} }}_{n-1 \; {\rm pierwiastkow}} \\
\pi & \approx 2^{n-1} \underbrace{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \ldots + \sqrt{2}} }}_{n-1 \; {\rm pierwiastkow}}
\end{align*}$}\)
Okazuje się, że w granicy \(\displaystyle{ n \to +\infty}\) ciąg po prawej faktycznie jest zbieżny do \(\displaystyle{ \pi}\).
Dowód:    

ODPOWIEDZ