Twierdzenie Tunnella

[mol_ksiazkowy]

Trójkąt pitagorejski jest to trójkąt prostokątny o bokach, których długości są liczbami naturalnymi. Rozważa się wśród nich pewną podklasę, tj. rodzinę trójkątów pierwotnych. Mówimy, iż trójkąt jest pierwotny, jeśli największy wspólny dzielnik długości jego trzech boków jest jedynką. Następny krok to rozszerzenie klasy trójkątów pitagorejskich do trójkątów prostokątnych, w których długości boków są wymierne. Pole takiego trójkąta o ile jest liczbą naturalna wyraza liczbę kongruentną. Inaczej mówiąc, jeśli istnieją liczby wymierne różne od zera takie że (2) to wtedy \(\displaystyle{ n}\) jest kongruentna. Interesujący jest problem znalezienia algorytmu służącego do zbadania czy zadana liczba naturalna jest kongruenta czy też nie, jak też problem klasyfikacji liczb kongruentnych.
(1) \(\displaystyle{ x^2+y^2=z^2}\)

(2)\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2=z^2\\\frac{xy}{2}=n\end{cases}}\)

Twierdzenie główne
Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą bezkwadratową (tj niepodzelną przez kwadrat liczby naturalnej >1). Aby \(\displaystyle{ n}\) była kongruentna potrzeba i wystarcza, by równanie
\(\displaystyle{ nz^2=xy(x+y)(x-y)}\)
miało rozwiązania w liczbach naturalnych \(\displaystyle{ x,y,z}\), przy czym \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są względnie pierwsze i o różnej parzystości

Istotnie , jeśli założyć iz powyższe równanie zachodzi, to wtedy trójkąt o bokach \(\displaystyle{ x^2-y^2, \ 2xy , \ x^2+y^2}\) jest pitagorejski, a jego pole wynosi \(\displaystyle{ nz^2}\).

Poniższa uwaga jest kluczowa: Jeśli \(\displaystyle{ m, n}\) są liczbami naturalnymi to \(\displaystyle{ n}\) jest kongruentna, wtedy i tylko wtedu gdy \(\displaystyle{ m^2n}\) jest kongruentna. A więc badanie liczb kongruentnych organiczyc mozna do liczb bezkwadratowych. Nietrudno pokazać iż \(\displaystyle{ 1}\) nie jest kongruentna (a wynika to z faktu, iż równanie \(\displaystyle{ u^4-v^4=w^2}\) nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych), tj mamy:

Twierdzenie Fermata
Każda liczba naturalna będaca kwadratem (innej liczby naturalnej ) nie jest kongruentna.

Gdyby liczba \(\displaystyle{ 2}\) była kongruentna, to wtedy z ukladu (2) \(\displaystyle{ x^4+2^4= x^4 +(xy)^2 =x^2(x^2+y^2)= (xz)^2}\), a wiadomo, iż równanie \(\displaystyle{ u^4+v^4=w^2}\) nie ma rozwiązań w liczbach wymiernych \(\displaystyle{ u, v, w}\), róznych od zera, a zatem liczba \(\displaystyle{ 2}\) nie jest kongruentna.
Liczba \(\displaystyle{ 5}\) jest najmniejszą liczbą kongruentna. Co ciekawe \(\displaystyle{ 5}\) nie jest polem żadnego trójkąta pitagorejskiego.

Twierdzenie drugie
a) Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą, taką że \(\displaystyle{ p \equiv 5 (mod \ 8)}\). Wtedy \(\displaystyle{ 2p}\) nie jest liczbą kongruentną
b) Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą, taką że \(\displaystyle{ p \equiv 3 (mod \ 8)}\). Wtedy \(\displaystyle{ p}\) nie jest liczbą kongruentną
(bez dowodu)

Twierdzenie trzecie (o krzywej eliptycznej)
Układ (2) można sprowadzić do badania pewnej krzywej eliptycznej, tj:
(3) \(\displaystyle{ y^2=x(x^2-n^2)}\)
Jeśli liczby wymierne różne od zera \(\displaystyle{ x,y,z}\) spełniaja ukłąd (2) to wtedy liczby \(\displaystyle{ \overline{y}= \frac{1}{8}z(x^2-y^2)}\) i \(\displaystyle{ \overline{x}= \frac{z^2}{4}}\) są wymierne, rózne od zera i spełniają (3)
I na odwrót: jeśli \(\displaystyle{ \overline{x}, \overline{y}}\) są różne od zera i spełniają (3) to biorąc
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= \frac{\overline{x}^2 -n^2}{\overline{y}} \\ y=\frac{2\overline{x} n}{\overline{y}} \\ z=\frac{\overline{x}^2 +n^2}{\overline{y}} \end{cases}}\)
otrzymamy jak łatwo sprawdzić rózwiązanie układu (2)
Dowód:
\(\displaystyle{ \overline{y}^2 =\frac{1}{64} z^2(x^2-y^2)^2=\frac{1}{64}z^2 ((x^2+y^2)^2- 4x^2y^2)=\overline{x} (\overline{x}^2- n^2)= \overline{x}^3 - n^2\overline{x}}\)

Twierdzenie to jest użyteczne z uwagi na fakt, iż sprowadza problem (2) do badanie pewnych rodzajów krzywych eliptycznych, tj. do szukania na nich punktów o obu wspołrzędnych wymiernych. J. Tunnell wykazał (1983 r) twierdzenie, które pozwala- teoretycznie dla dowolnej liczby naturalnej- rozstrzygnąć czy jest ona kongruentna czy też nie. Jednak w dowodzie korzysta się z tzw. hipotezy BS-D, tj. Bircha i Swinnertona-Dyera, która została sprawdzona w niektórych przypadkach i "najprawdopodobniej" jest zawsze prawdziwa.

Twierdzenie Tunnella
Nieech \(\displaystyle{ n}\) bedzie liczbą nieparzystą i bezkwadratową . Rozważamy ilość rozwiązań całkowitoliczbowych równań:
(4)
\(\displaystyle{ n=2x^2+y^2+32z^2}\)
i
\(\displaystyle{ n=2x^2+y^2+8z^2}\)
Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest kongruentna, to drugie równanie ma dwa razy więcej rozwiązań niż pierwsze. I na odwrót: Jeśli drugie równanie ma dwa razy więcej rozwiązań niż pierwsze to \(\displaystyle{ n}\) jest kongruentna, o ile hipoteza BSD zachodzi dla krzywej (3).

A więc Twierdzenie Tunnella może słuzyć wykazaniu iż pewne liczby nie są kongruentne.


I tak np \(\displaystyle{ 3}\) nie jest kongruentna, (gdyż przy \(\displaystyle{ n=3}\) każde z równań (4) ma cztery rozwiązania w liczbach całkowitych, tj \(\displaystyle{ x=\pm 1, \ y=\pm 1, \ z=0}\)). Podobnie pokazać można iż każda liczba pierwsza postaci \(\displaystyle{ 8k+3}\) też nie jest kongruentna.
Liczba \(\displaystyle{ 7}\) jest kongruentna, gdyż można dobrać \(\displaystyle{ x=\frac{24}{5}, \ y=\frac{35}{12}, \ z=\frac{337}{60}}\) i wtedy \(\displaystyle{ \frac{xy}{2}=7}\). odpowiada to sytuacji \(\displaystyle{ x=16, y=9, z=60}\), z twierdzenia głównego.

Z twierdzenia Tunnella wynika (przy założeniu prawdziwiści hipotezy BS-D), że jeśli \(\displaystyle{ n}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 8}\) daje resztę \(\displaystyle{ 5}\) lub \(\displaystyle{ 7}\) to wtedy \(\displaystyle{ n}\) jest konguentna, jako że wtedy żadne z równań jakie występują w tym twierdzeniu nie ma rozwiązań.

Przykład
Liczba \(\displaystyle{ 65}\) (o ile założyć hipotezę BS-D), jest kongruentna, mimo iz nie musimy tu korzystać z twierdzenia Tunnella: (liczby \(\displaystyle{ x=9, \ y=4}\) ,twierdzenie główne) tj trójkąt o bokach \(\displaystyle{ \frac{65}{6},12, \frac{97}{6}}\) jest prostokątny i ma pole \(\displaystyle{ 65}\).

Przykład
Trójąt prostokątny o bokach \(\displaystyle{ \frac{9}{6}, \frac{40}{6}, \frac{41}{6}}\) ma pole 5. Tj. \(\displaystyle{ n=5}\) jest liczbą kongruentną. Nie istnieje jednak trójkat pitagorejski (tj. prostokątny o bokach naturalnych \(\displaystyle{ x,y,z}\)) i o polu \(\displaystyle{ 5}\), jako że wtedy z układu (2) uzyskalibyśmy iż \(\displaystyle{ (x+y)^2 -z^2=20}\), ale to jest możliwe, tylko gdy \(\displaystyle{ x+y =6, z=4}\) co prowadzi do sprzeczności.

Przykład
Liczba \(\displaystyle{ 6}\) jest kongruentna, gdyż trójkąt "egipski" o bokach \(\displaystyle{ 3,4,5}\) ma pole 6. Na krzywej \(\displaystyle{ y^2=x(x^2-36)}\) znajduje się punkt \(\displaystyle{ (-2,-8)}\). Wychodząc z tego punktu i stosując wzory z twierdzenia o krzywej eliptycznej dostaniemy własnie trójkąt egipski. Innym trójkątem o polu \(\displaystyle{ 6}\) jest trójkąt o bokach \(\displaystyle{ \frac{49}{70}, \frac{1200}{70} , \frac{1201}{70}}\). Trójkątów takich można zbudować -dla dowolnej liczby kongruentnej \(\displaystyle{ n}\)-nieskończenie wiele.