Kamyki i figury

[mol_ksiazkowy]

Jak niektóre źrodła podaja powstanie teorii tej wiąże sie z odkryciem jak mozna ilustrować pewne działania podobnie jak to robi sie dziś. Przy tej okazji pitagorejczycy spostrzegli, ze mnoząc równe liczby otrzymuje sie liczbę, której odpowiada kwadrat, -a dla różnych prostokąt. Nastepny krok, to zrobienie trójkąta, np poprzez podział jednej z wcześniejszych konfiguracji. Te trzy klasy, tj: kwadraty, prostokaty i trójkaty stanowią najstarszy fragment całego zjawiska. Budując figury z kamyków, mamy bardzo intuicyjną i czytelną interpretację znanych wzorów z algebry. Teoria ta rozwijala sie przez ponad dwa tysiaclecia i wciąż jest rozwijana. Aby wiec zacząć od poczatku wprowadza sie poniższe pojecie.


Gnomony >Liczby trójkątne są przykładem liczb-figur (lub inaczej figuralnych), W teorii tej ważne pojęcie to jest gnomon: tj liczba, która dodana do dowolnego wyrazu w danej klasie liczb figuralnych tworzy następny wyraz tej klasy. Gdy pierwszym wyrazem tworzonej klasy jest liczba dwa, i gnomonami są kolejne liczby parzyste poczawszy od czterech, powstaje klasa liczb prostokątnych. Jesli pierwszym wyrazem tworzonej klasy jest jedność, a gnomonami są kolejne liczby począwszy od dwoch, mamy klasę liczb trójkątnych. I wreszcie klasa liczb tetraedralnych powstaje gdy zaczynamy od jedności, zaś gnomonami są liczby trójkątne.


Liczby kwadratowe są iloczynami dwóch równych czynników, a Liczby prostokątne są iloczynami dwóch czynników róznicych sie o jeden. Liczba kwadratowa jest sumą dwóch kolejnych liczb trójkątnych. i na koniec Liczba prostokątna jest podwojeniem odpowiedniej liczby trójkątnej *

Jak np obliczyć sumę kolejnych liczb 1, 2,....n ? Sprytnie zrobił to Gauss, łączac pierwsza z ostatnią, etc uzyskujac pary o stałej sumie, ale np Archimedes postapił inaczej *: podzielił on n poziomych rzędów po n+1 kamyczków w każdym , na dwa identyczne układy odpowiadające liczbie trójkątnej (rozciał "po przekątnej"). A wiec istotnie:
\(\displaystyle{ 2(1+....+n)= 2t_n=n(n+1)}\)



Liczby trójkątne
n ta liczba trójkątna ma postać \(\displaystyle{ t_n=1+...+n}\) i maja one prostą interptacje (n kamyczków) w n tym rzedzie. Spośrod wielu ich własności: trzy wzory \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{2n-1} (-1)^{k+1} t_k =n^2}\). Drugi wzór ma postać (i wynika z rozpisania "róznicy kwadratów") otrzymujemy od razu ze \(\displaystyle{ t_{n+1}^2- t_n^2 =(n+1)^3}\). Trzeci wzor mówi, że suma kolejnych liczb nieparzystych jest zawsze liczba kwadratową. Wynika to ze stosownego ułozenia kamyków tworzących kwadrat.:
\(\displaystyle{ 1+3+...+2n-1= n^2}\)

Euler rozwaąał i wykazał, że: liczby postaci jak ponizej () są l trójkątymi i zarazem kwadratowymi. oraz ze zapis ten wyczerpuje wszystkie takie przypadki. A także liczby \(\displaystyle{ z_j}\), których kwadraty sa l. trójkątnymi spełniaja rekurencję \(\displaystyle{ z_{j+1}=6z_j -z_{j-1}}\)

() \(\displaystyle{ \frac{1}{32} ((3+\sqrt{8})^n - (3-\sqrt{8})^n )^2}\)



Liczby trójkatne-Wiecej wzorów

uwagi: trzymajac sie tu interpretacji z kamykami, mówimy że bokiem liczby kwadratowej \(\displaystyle{ n^2}\) jest liczba \(\displaystyle{ n}\). Liczba prostokątna \(\displaystyle{ p_n}\) ma postać \(\displaystyle{ n(n+1)}\), zaś liczby tetraedralne \(\displaystyle{ T_n}\) ("czworościenne") dane sa wzorem \(\displaystyle{ 6T_n= n(n+1)(n+2)}\), a też \(\displaystyle{ t_n=T_n - T_{n-1}}\). Można i dalej : \(\displaystyle{ n}\) tą liczbą \(\displaystyle{ m}\) kątna jest \(\displaystyle{ n +(m-2) \frac{n(n-1)}{2}}\)
Uwaga: Zachodzi fakt: Kazda liczba naturalna moę być zapisana w postaci sumy co najwyzej n liczb n kątnych


Rekurencja (dla liczb trójkątnych):
\(\displaystyle{ t_{m+n}= t_m+t_n+mn}\)

\(\displaystyle{ t_{mn}=t_mt_n +t_{m-1}t_{n-1}}\)

Wzory "dualne"
\(\displaystyle{ t_{2n}= 3t_n +t_{n-1}}\)
\(\displaystyle{ t_{2n+1}= 3t_n +t_{n+1}}\)




Nieparzysta liczba kwadratowa po odrzuceniu jedności staje się sumą czterech identycznych liczb prostokątnych.
tj
\(\displaystyle{ \frac{n^2-1}{4}=\frac{n-1}{2} (\frac{n-1}{2} +1)= p_{\frac{n-1}{2}}}\)
a wiec z *
Nieparzysta liczba kwadratowa po odrzuceniu jedności staje się sumą ośmiu identycznych liczb trójkątnych
tj
\(\displaystyle{ \frac{n^2-1}{8}=t_{\frac{n-1}{2}}}\)

Twierdzenie to zwane jest tw . Diofantosa (III w. n.e.), choć jego rodowód jest wcześniejszy ma tez ciekawa interpetację z kamyczkami. Tu owo "odrzucenie jedności" to wyjęcie kamyka ze środka kwadratu. Inna forma zapisu tego twierdzenia jest wzór:
\(\displaystyle{ t_{n-1}+6t_n+t_{n+1}=8t_n+1=(2n+1)^2}\)


-->Każda liczba kwadratowa jest podzielna przez trzy albo staje się podzielna przez trzy po odrzuceniu jedności. Parzysta liczba kwadratowa jest suma czterech identycznych liczb kwadratowych.




Teoria trójek pitagorejskich
Jak wiemy u starożytnych arytmetyka "szła w parze" mocno z geometrią. Tw Pitarorasa gra tu szczególna rolę. Mówimy, ze liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ A, B, C}\) tworzą trójkę pitagorejską, gdy \(\displaystyle{ A^2+ B^2 =C^2}\). Pitagorejczycy znali taką oto regułę (wzór a) ) wyznaczania takich trójek. zaś wzór b) niektore źródła przypisuja Platonowi (wg innych Archytas ,IV w. p.n.e):

a) Jeśli \(\displaystyle{ N}\) jest liczbą nieparzystą, to liczby \(\displaystyle{ N, \ \frac{N^2-1}{2}, \ \frac{N^2+1}{2}}\) stanowią trójkę pitagorejską. **
[][]

b) Jeśli \(\displaystyle{ M}\) jest liczbą parzystą, to liczby \(\displaystyle{ M, \ (\frac{M}{2})^2-1, \ (\frac{M}{2})^2+1}\) stanowią trójkę pitagorejską.


** Gdy \(\displaystyle{ N=3}\) mamy słynny "święty trójkąt"
Dowód a) (kamyczkowy)
Kazda Liczba nieparzysta zgodnie z określeniem jest różnicą dwóch kolejnych liczb kwadratowych. Jesli zaś ponadto ta l. nieparzysta sama jest liczbą kwadratową, to powstaje trójka liczb kwadratowych, tj. wewnętrzna, gnomon i zewnętrzna. Wystarczy wiec ułożyć kamyczki lub zapisać:
\(\displaystyle{ (n+1)^2= n^2 +(2n+1)}\)
\(\displaystyle{ 2n+1=N^2}\)
tj \(\displaystyle{ n=\frac{N^2-1}{2}}\)

Dowód b) szkic
Różnica miedzy dwoma liczbami kwadratowymi, t ze ich boki różnia sie o dwa jest podzielna przez cztery. Dalej różnica ta moze być liczba kwadratowa, tj
\(\displaystyle{ (n+2)^2-n^2=4(n+1)=M^2}\)
\(\displaystyle{ n=(\frac{M}{2})^2 -1}\)
cbdo.