Różne rozwinięcia dziesiętne

Dział dla użytkowników nie lubiących googlować ;) Konkretne zagadnienia matematyczne w sieci, skrypty online, poszukiwania wszelakie acz KONKRETNE!
Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 421
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 163 razy
Pomógł: 16 razy

Różne rozwinięcia dziesiętne

Post autor: Bran »

Oglądając pewien popularnonaukowy materiał o konstrukcji liczb rzeczywistych, tam pojawiły się dwa wzory na przedstawienie rozwinięcia dziesiętnego liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x.}\)

Niech \(\displaystyle{ x = x_0, x_1x_2x_3...,}\) gdzie \(\displaystyle{ x_k}\) rozumie się tu jako kolejne cyfry w zapisie liczby.

Wzór 1

\(\displaystyle{ x_0 = \lceil x-1 \rceil\\
x_1 = \left\lceil 10\left( x-x_0\right) -1 \right\rceil\\
x_2 = \left\lceil 10^2\left( x-x_0-\frac{x_1}{10}\right)-1 \right\rceil\\
x_3 = \left\lceil 10^3\left( x-x_0-\frac{x_1}{10}-\frac{x_1}{10^2}\right) -1 \right\rceil\\
\ldots\\
x_k = \left\lceil 10^k\left( x- \sum_{i=0}^{k-1} \frac{x_i}{10^i}\right) -1 \right\rceil\\
\ldots}\)


Wzór 2

\(\displaystyle{ x_0 = \lfloor x-1 \rfloor\\
x_1 = \left\lfloor10\left( x-x_0\right) \right\rfloor\\
x_2 = \left\lfloor 10^2\left( x-x_0-\frac{x_1}{10}\right) \right\rfloor\\
x_3 = \left\lfloor 10^3\left( x-x_0-\frac{x_1}{10}-\frac{x_1}{10^2}\right) \right\rfloor\\
\ldots\\
x_k = \left\lfloor 10^k\left( x- \sum_{i=0}^{k-1} \frac{x_i}{10^i}\right) \right\rfloor\\
\ldots}\)


Zetknąłem się z tym również na jednym z wykładów (zdecydowanie się na jeden z tych wzorów było istotne dla pewnego dowodu), tylko jakoś nikt nie podjął się przedstawienia dowodu, że te wzory faktycznie są równoważne. Gdzie mógłbym znaleźć dowód tego faktu?

Ciekawostka: Według drugiego wzoru \(\displaystyle{ 1 = 1,(0)}\); Według pierwszego wzoru \(\displaystyle{ 1 = 0,(9).}\)
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Różne rozwinięcia dziesiętne

Post autor: Dasio11 »

Chodzi o dowód, że każdy z tych wzorów daje pewne rozwinięcie dziesiętne liczby \(\displaystyle{ x}\)? Jeśli tak, to nic dziwnego że nikomu nie chciało się dowodzić oczywistości, tym bardziej że i tak byłyby to tylko żmudne rachunki. Ale możesz to zrobić sam - do udowodnienia są dwie rzeczy:

\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ x_k \in \{ 0, 1, \ldots, 9 \}}\) dla \(\displaystyle{ k \ge 1}\)

\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ x = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{x_i}{10^i}}\)

PS W drugim wzorze powinno być \(\displaystyle{ x_0 = \lfloor x \rfloor}\).
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Różne rozwinięcia dziesiętne

Post autor: Janusz Tracz »

Nie nazwał bym tego równoważnością wzorów jak już to te wzory dają równoważny opis rozwinięcia liczby \(\displaystyle{ x}\). Poza tym to są raczej techniczne równości, a nie wzory jako twierdzenia. Mam tu na myśli to, że we wzorze na \(\displaystyle{ x_k}\) występuje \(\displaystyle{ x}\) więc \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ x_k}\) są już znane. Wzór \(\displaystyle{ x_k=\dots}\) to tylko przedstawienie \(\displaystyle{ x_k}\) jako \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ x_{k-1},x_{k-2},\dots,x_0}\). Być może myli Cię konflikt oznaczeń bowiem \(\displaystyle{ x_k}\) w pierwszym wzorze to niekoniecznie to samo \(\displaystyle{ x_k}\) co w drugim. Mimo to liczba \(\displaystyle{ x_0,x_1x_2\dots}\) będzie równa \(\displaystyle{ x}\) niezależnie od wyboru wzoru. Więc proponuję przeformować to w następujący sposób:

Niech \(\displaystyle{ x\in\RR}\) oraz \(\displaystyle{ (x_k)_{k=0}^{\infty}\subset\left\{ 0,1,2,3,\dots,9\right\} }\) to ciąg cyfr z rozwinięcia liczby \(\displaystyle{ x}\). Niech dane będą też ciągi \(\displaystyle{ (a_k)_{k=0}^{\infty}}\) oraz \(\displaystyle{ (b_k)_{k=0}^{\infty}}\) wzorami

\(\displaystyle{ a_k = \left\lceil 10^k\left( x- \sum_{i=0}^{k-1} \frac{x_i}{10^i}\right) -1 \right\rceil, \qquad b_k = \left\lfloor 10^k\left( x- \sum_{i=0}^{k-1} \frac{x_i}{10^i}\right) \right\rfloor}\)


wtedy zachodzi równość \(\displaystyle{ x=a_0,a_1a_2a_3 \dots =b_0,b_1b_2b_3\dots}\) .

Jak widać wzory na \(\displaystyle{ a_k}\) oraz \(\displaystyle{ b_k}\) niewiele się różnią. Może przyda się równość
\(\displaystyle{ \lfloor\xi\rfloor - \lceil \xi-1 \rceil = \begin{cases} 0 &\text{gdy } \xi \not\in\ZZ \\ 1&\text{gdy } \xi \in\ZZ\end{cases} }\)
oraz

Kod: Zaznacz cały

https://math.stackexchange.com/questions/271118/characterization-of-non-unique-decimal-expansions
.
Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 421
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 163 razy
Pomógł: 16 razy

Re: Różne rozwinięcia dziesiętne

Post autor: Bran »

Dasio11 pisze: 9 sie 2021, o 09:55 Do udowodnienia są dwie rzeczy:

\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ x_k \in \{ 0, 1, \ldots, 9 \}}\) dla \(\displaystyle{ k \ge 1}\)

\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ x = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{x_i}{10^i}}\)
Dlaczego wystarczy udowodnić te dwie rzeczy, żeby wykazać równoważność tych zapisów?
Czy pierwsza nie jest naszym założeniem?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Różne rozwinięcia dziesiętne

Post autor: Dasio11 »

Bran pisze: 10 sie 2021, o 20:19Dlaczego wystarczy udowodnić te dwie rzeczy, żeby wykazać równoważność tych zapisów?
Bo napis \(\displaystyle{ x_0 {,} x_1 x_2 x_3 \ldots}\) nazywa się rozwinięciem dziesiętnym dodatniej liczby \(\displaystyle{ x}\) dokładnie wtedy, gdy spełnia te dwa warunki (i oczywiście \(\displaystyle{ x_0 \in \NN}\)).

Bran pisze: 10 sie 2021, o 20:19Czy pierwsza nie jest naszym założeniem?
Nie, założeniem jest że \(\displaystyle{ x_k}\) są liczbami danymi przez podane w pierwszym poście wzory.
ODPOWIEDZ