Parametryzacja krzywych - źródło przykładów

[Zaratustra]

Gdzie znajdę jakiś pokaźny zbiór zadań i przykładów parametryzacji bardziej skomplikowanych krzywych? Tzn. gdzie nie wystarczy podstawić \(\displaystyle{ x=t}\) i wychodzi
Np. jak dojść do parametryzacji Lemniskaty Gerona albo Liścia Kartezjusza mając równanie ogólne (zwykle w drugą stronę od postaci parametrycznej do jakiegoś równania \(\displaystyle{ F(x,y)=0}\) jest łatwiej). Ja na ogół nie potrafię wyznaczyć już odrobinę bardziej skomplikowanej parametryzacji - chętnie bym zobaczył jak ludzie do tego dochodzą/doszli
A może w ogóle trzeba się jakichś działów douczyć? Widziałem kiedyś na oczy podręcznik do geometrii różniczkowej - definicji różnych podtypów parametryzacji tam było multum i różnych ogólnych pojęć (wszystko \(\displaystyle{ n}\)-wymiarowo) ale prawie zero po-prostu-przykładów krzywych i ich parametryzacji w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) a i twierdzenia na pierwszy rzut oka mało konstruktywne były
Jak ugryźć temat - z ciekawości. (czytaj: nie piszę z tego pracy/nie zaliczam egzaminu)
Mogą być również źródła książkowe ale w pierwszej kolejności pytam o elektroniczne. (chociaż googlam i googlam i posucha w temacie )
Z góry dzięki!

[janusz47]

Dla krzywych na płaszczyźnie jest bardzo dobra książka

Eugieniusz Niczyporowicz krzywe płaskie - wybrane zagadnienia z geometrii analitycznej i różniczkowej. PWN Warszawa 1991.

[Janusz Tracz]

Dużo ciekawych krzywych jest efektem rozważań nad geometrycznymi warunkami (wiązaniami) które zadane były z najróżniejszych powodów (o których za chwilę). To zdanie może brzmi dość enigmatycznie dlatego przykład: powiedzmy, że z jakichś względów potrzebna nam krzywa o własności "suma odległości od dwóch wybranych punktów jest stała" studiując tą własność i zapisując ją w języku geometrii naturalnie wychodzi elipsa. Innym przykładem jest multiplikowana kuzynka elipsy gdzie sumę zastąpiono iloczynem odległości otrzymując

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Lemniscate_of_Bernoulli

. Chcę tym samym powiedzieć, że dużo krzywych jest efektem pewnych geometrycznych wiązań punktów na płaszczyźnie jaka ich twórcy narzucili. Wydaje mi się, że w przeszłości to własnie te szczególne geometryczne własności były potrzebne inżynierom do konstruowania np. mechanizmów krzywkowych albo zegarów wahadłowych mogących pracować w przechyle (na statkach to istotne) tu narzucenie warunków równego wahania niezależnie od przechyłu wygeneruje

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Brachistochrona

bezpośrednio związaną z [url=https://pl.wikipedia.org/wiki/Cykloida]Cykloidą[/url] potem taki inżynier musiał zaprojektować mechanizm zębaty który wygeneruje taką trajektorię stąd rozważania nad [url=https://pl.wikipedia.org/wiki/Ewolwenta]Ewolwentą[/url] oraz [url=https://pl.wikipedia.org/wiki/Inwoluta]Inwolutą[/url]. Podsumowując piszę to po to by uświadomić Ci, że dużo krzywych jest historycznie związanych z pewnym problemem który rozwiązywały. Każdy taki problem jest wyzwaniem samym w sobie, podobnie parametryzacja takich krzywych też jest problemem samym w sobie i różnym dla różnych krzywych, trudno jest więc podać ogólny tok postępowania gdy chce się coś parametryzować. Ja polecam Ci szukać informacji o krzywej która Cię zainteresuje bezpośrednio szukając informacji o tej krzywiej a nie o rzeczach dokoła czyli twierdzeniach geometrii różniczkowej itp. (choć i te mogą być przydatne). Krzywych jest dużo na pewno coś Cię zainteresuje [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Category:Curves]krzywe[/url].

PS Możesz poszukać czegoś w Fichtenholzu "rachunek różniczkowy i całkowy" tam chyba coś o tym było

PPS To, że daje odnośniki do Wiki nie oznacza, że jest to jedyne źródło informacji ale Wiki wyskakuje pierwsza i sama oferuje dalsze odnośniki do bardziej specjalistycznych źródeł polecam je sprawdzać.

[Zaratustra]

janusz47 Dzięki wielkie. Książkę może ogarnę na wakacje z biblioteki, bo widzę, że tego raczej na własność znośnym stanie nie dostanę, żeby sobie zaglądać w wolnym czasie.

Janusz Tracz Niestety z dotychczasowego czytania na temat właśnie takie odniosłem wrażenie, że jest jak mówisz, niemniej liczyłem, że może ktoś się wysilił nakombinować jakichś zadań-problemów treningowych dla poćwiczenia dla przeciętniaka.
Ale cóż - czyli to jedna z tych sfer w matmie, gdzie zadania będą albo bardzo łatwe i nie ma nic do roboty, albo od razu problemy-łamacze głowy
W każdym razie dzięki za odpowiedzi ^^