Nazwa/dowód Twierdzenia

Dział dla użytkowników nie lubiących googlować ;) Konkretne zagadnienia matematyczne w sieci, skrypty online, poszukiwania wszelakie acz KONKRETNE!
Awatar użytkownika
Rafsaf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 466
Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
Podziękował: 54 razy
Pomógł: 79 razy

Nazwa/dowód Twierdzenia

Post autor: Rafsaf » 14 mar 2019, o 22:25

Może ktoś zna nazwę tego Twierdzenia(po Polsku lub Angielsku nawet chętniej), nie wiem nawet jak zacząć tego szukać w sieci, dowód który mam nie przemawia do mnie, może na yt coś się znajdzie.

Niech \(\displaystyle{ V,V_1,V_2,...,V_n}\) będą przestrzeniami liniowymi nad \(\displaystyle{ K}\). Wtedy NWSR:
1) \(\displaystyle{ V}\)jest izmoformiczna z \(\displaystyle{ V_1 \times V_2 \times ... \times V_n}\)
2) Istnieją epimorfizmy \(\displaystyle{ g_i : V \rightarrow V_i}\) gdzie \(\displaystyle{ (i \in \left\{ 1,2,3,...,n\right\})}\) takie że dla dowolnej przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ U}\) nad ciałem \(\displaystyle{ K}\) oraz przekształceń liniowych\(\displaystyle{ f_i : U \rightarrow V_i}\) gdzie \(\displaystyle{ (i \in \left\{ 1,2,3,...,n\right\})}\) istnieje jedyne przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ g: U \rightarrow V}\) takie że \(\displaystyle{ g_i \circ g = f_i}\)

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3121
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 152 razy
Pomógł: 475 razy

Nazwa/dowód Twierdzenia

Post autor: leg14 » 15 mar 2019, o 12:27

To twierdzenie nei ma nazwy, bo to nie jest twierdzenie. To po prostu unwiersalna własność produktu.

Pouczające będzie udowodnienie tego samemu - przeprowadzę Cię.

Zacznij od przekonania się, że produkt \(\displaystyle{ V_1 \times V_2 \times ... \times V_n}\) spełnia własność z punktu 2

Awatar użytkownika
Rafsaf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 466
Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
Podziękował: 54 razy
Pomógł: 79 razy

Nazwa/dowód Twierdzenia

Post autor: Rafsaf » 15 mar 2019, o 18:11

Dziękuję, że nie użyłeś chociaż frazy trywialna własność produktu

Dobra, \(\displaystyle{ V_1 \times V_2 \times ... \times V_n}\) rzeczywiście to spełnia(nie, to nie było takie łatwe)

\(\displaystyle{ g_i}\) będzie musiało być rzutem na \(\displaystyle{ V_i}\), dla \(\displaystyle{ v_1,v_2,...,v_n \in V_1 \times V_2 \times ... \times V_n}\) to będzie \(\displaystyle{ g_i(v_1,v_2,...,v_n)=\pi_{i}(v_1,v_2,...,v_n)=v_i}\) dla \(\displaystyle{ i \in \left\{ 1,2,...,n\right\}}\)

Wtedy trzeba znaleźć \(\displaystyle{ g}\) które spełnia \(\displaystyle{ \pi_i \circ g = f_i}\)

Czyli \(\displaystyle{ g: U \rightarrow V_1 \times V_2 \times ... \times V_n}\) będzie musiało być dane wzorem \(\displaystyle{ g(u)=\left( f_1(u), f_2(u), ... , f_n(u)\right)}\) i wtedy rzeczywiście po złożeniu z rzutem na i-tą współrzędną dostaniemy \(\displaystyle{ f_i(u)}\) czyli to co chcieliśmy

Jedyność wygląda na to że jest, trzeba by to jeszcze jakoś uzasadnić.-- 16 mar 2019, o 09:09 --Dzięki za tą wskazówkę, w pierwszą stronę \(\displaystyle{ 1) \Rightarrow 2)}\) wystarczy pobawić się z dodatkowym złożeniem z izometrią:

niech \(\displaystyle{ k: V \rightarrow V_1 \times V_2 \times ... \times V_n}\) będzie izometrią.
wtedy \(\displaystyle{ g_i : V \rightarrow V_i}\) będzie po prostu złożeniem \(\displaystyle{ k}\) z epimorfizmem z poprzedniego posta czyli \(\displaystyle{ g_i(v)=(\pi_i \circ k)(v)}\)

a wtedy \(\displaystyle{ g: U \rightarrow V}\) zdefiniujemy jako złożenie \(\displaystyle{ g(u)=(k ^{-1}\circ h)(u)}\) gdzie \(\displaystyle{ h: U \rightarrow V_1 \times V_2 \times ... \times V_n}\) że \(\displaystyle{ h(u)=(f_1(u), f_2(u), ... , f_n(u))}\)

jak łatwo w drugą stronę to pójdzie?

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3121
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 152 razy
Pomógł: 475 razy

Nazwa/dowód Twierdzenia

Post autor: leg14 » 18 mar 2019, o 11:13

Jeśli masz 2)
To w warunku dla 2) za \(\displaystyle{ U}\) podstaw \(\displaystyle{ V_1 \times V_2 \times ... \times V_n}\).

Z definicji masz jedyne przekształcenie \(\displaystyle{ g : V_1 \times V_2 \times ... \times V_n \rightarrow V}\)
Ale teraz w drugą stronę - zamieniając V z tym produktem otrzymasz przekształcenie
\(\displaystyle{ g' :V \rightarrow V_1 \times V_2 \times ... \times V_n}\)

Wystarczy pokazać, że to są izomorfizmy

No to popatrz na złożenie \(\displaystyle{ g' \circ g : V_1 \times V_2 \times ... \times V_n \rightarrow V_1 \times V_2 \times ... \times V_n}\)

Podstaw do punktu 2) \(\displaystyle{ V_1 \times V_2 \times ... \times V_n}\) za \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\)
Twierdzę, że to "jedyyne przekształcenie " w tym wypadku to identyczność , ale również \(\displaystyle{ g' \circ g}\)

ODPOWIEDZ