Stosunek ilości liczb pierwszych w zbiorach

[dykow]

Problem dotyczy rozmieszczenia licz pierwszych. Napisałem program, który oblicza stosunek ilości wystąpień licz pierwszych w przedziale \(\displaystyle{ 1...a^b}\) do ilości wystąpień liczb pierwszych w przedziale \(\displaystyle{ 1...a^{b-1}}\).
Zauważyłem, że obliczając ten stosunek dla kolejnych potęg jakiejkolwiek liczby naturalnej wydaje się, że:
1) zmierza on do jakiejś wartości;
2) przyrost liczb pierwszych w przedziale \(\displaystyle{ 1...a^b}\) w stosunku do przedziału \(\displaystyle{ 1...a^{b-1}}\), czyli wzrost stosunku jednego przedziału do drugiego zmierza do jakiejś wartości;
3) dowodzi to po prostu tyle, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, a im większe liczby tym mniejsza częstotliwość ich wystąpień, a ja po prostu nie dokonałem sprawdzenia dla odpowiednio dużych wartości i później schemat się załamuje.

Może jest jakieś twierdzenie, dowód, który mi pomoże odpowiedzieć na pytania, bo nawet nie wiem jak mam tego szukać?
Jeżeli nie, to jak zweryfikować prawdziwość punktów 1,2,3? Można uda się użyć którejś funkcji przybliżającej liczbę wystąpień liczb pierwszych w danym przedziale \(\displaystyle{ 1...a}\) i przekształcić ją, aby można było obliczyć granicę ww. stosunku i przyrostu ww. stosunku dla kolejnych potęg liczby \(\displaystyle{ a}\). Jest w stanie to ktoś zrobić?

Funkcje przybliżające liczbę liczb pierwszych:

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Prime-counting_function

Program obliczający proporcje: